编者案
数学之美 、 数学之实 、 数学之趣 ……我们用三篇文章将数学的本征特征逐个解答。而藉由那些特征，人类将数学那一非物量科学开展延伸至我们的现实世界中，产生了浩荡、以至无可替代的感化。系列文章最初一篇，来见袁亚湘院士眼中的数学之用。
撰文 | 袁亚湘
我在做科普陈述时常有人会问，数学有用吗、有什么用？事实上，数学不只有用，并且是最有用的学科之一。许多人对数学的理解经常停留在深邃、笼统的数学证明层面，由此也衍生出了一些“数学无用论”的笑话。
不外，笑话回笑话，但那却阐了然一个残暴的现实：在公家中确实有人对数学的感化不领会，认为数学只是数学家的游戏，与现实生活无关，以至觉得数学对国度社会的开展没什么感化。
而实在情状是，数学从它的降生之日起就打上了利用的烙印。货物交易、地盘丈量、历法等都是古代数学研究的内容。我国古代的数学著做《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》等等，内容也都是研究日常生活相关的计算问题。
我国古代闻名的哲学家老子在《道德经》中写道：“善数，不消筹策”，意思是擅长计数的人不消筹码也能够停止计算。可见，他对数学的感化也是足够必定的。“亚圣”孟子是争论巨匠，《孟子》中大量利用回纳、演绎、类比等逻辑推理的办法，而逻辑推理也是数学的根底。
数学还为其他学科的新发现供给了批示和表达形式。那方面例子触目皆是：微分方程为流体力学、微分几何为相对论、数论为密码学、博弈论为经济学的开展都供给了强大的理论支持。数学是所有天然科学的根底，也是强有力的东西，对良多其他科学范畴的开展起了重要的感化。
很多其他范畴的科学家对数学的重要性有足够的论述。达尔文是举世闻名的生物学家，他提出了生物进化论学说、出书了闻名的《物种起源》。他曾经说过：“任何新发如今形式上都是数学，因为我们没有其他引导。”达芬奇说：“人类摸索假设不克不及用数学表达，就不克不及实正称之为科学”“力学是数学的乐园，因为我们在那里获得了数学的果实。”
达尔文（1809-1882）
当然，有些数学家存眷的问题是高度笼统的纯数学问题，那些问题可能看上往在现实中没有间接的利用。也有的数学家自己对有利用布景的数学问题兴致不大。因为一旦需要处理现实问题，良多抱负的假设不成立，阐发和推导就可能不敷完美。总之，对利用有成见的数学家仍是存在的。闻名数学家哈代就是此中之一。
哈代认为实正的数学就是不该当与利用挂钩，并且毫无遮拦地瞧不上利用数学。他在《一个数学家的分说》中写到：“实正的数学对战争没有影响，……有一些利用数学的分收，……也许很难说它们是‘微不敷道的’，但它们没有一个是‘实正的’数学，它们是令人厌恶的丑恶以及不胜忍耐的无趣。”“我没有做过任何‘有用的’工做。我的发现，无论是间接的仍是间接的，无论好仍是坏，对那个世界不起任何感化。”
不外，有意思的是，哈代本人的有些工做在现实中确实得到了利用。好比，哈代-拉马努金渐进公式在统计物理中派上了用场，也被闻名物理学家玻尔用于原子核量子分区函数的计算。那足以辩驳哈代的“数学无用论”。
好在像哈代如许偏执的数学家是少少数。大大都学家都熟悉到数学必需与现实密切连系。俄国数学家切比雪夫曾诙谐地说：“使数学离开现实需求，就比如把母牛关起来不让它接触公牛。”切比雪夫在素数理论、函数迫近等方面有着重要奉献，切比雪夫多项式、切比雪夫不等式都是以他定名的。
切比雪夫（1821-1894）
总之，数学的利用到处可见。印度做家夏琨塔拉·戴维曾说过：“没有数学，你什么也不克不及做。你四周所有的工具都是数学，你四周所有的工具都是数字。”
夏琨塔拉·戴维（1929-2013）
2020年，国际数学联盟庆祝首届国际数学节的主题词就是“数学无处不在”。那恰是向公家鼓吹数学在各行各业正发扬着重要感化。
我们再举几个数学发扬重要感化的例子。第一个例子是CT成像，CT肺部影像是搀扶帮助医生确诊该病的重要根据，而它的原理其实是数学中的拉东变更。
拉东（1887-1956）
拉东是奥天时数学家，他在变分法、微分几何、测度论等方面有重要奉献，拉东变更就是以他定名的。
数学还在土木匠程中发扬了重要感化。无论是桥梁、水坝，仍是高层建筑，在设想中都需要用到有限元办法对其构造停止应力阐发。
有限元办法是求解微分方程的一类数值办法。二十世纪50年代末至60年代初，我国计算数学的奠定人和开辟者冯康在处理大型水坝计算问题的集体研究理论的根底上，独立于西方创造了一套求解偏微分方程问题的计算办法，其时他称之为“基于变分原理的差分办法”，也就是现在所指的有限元办法。1984年，冯康还创始性地提出了基于辛几何以计算哈密顿系统的办法，即哈密顿系统的保构造算法。此类算法在天体轨道计算等诸多方面有普遍利用，他因而获得了1997年国度天然科学奖一等奖。
1982年，他选举笔者（时为他的硕士生）往剑桥大学攻读博士学位，进修优化理论，并对笔者说：“你要出国就不要学有限元，要学有限元就不要出国！”大有“老子有限元全国第一”的自信和霸气。冯康一家人都是国之栋梁，他的姐夫叶笃恰是闻名气象学家，曾获国度更高科学手艺奖。弟弟冯端是闻名物理学家。
冯康（1921-1993）
在地球勘探中，为什么我们能晓得看不见、摸不着的地下构造，领会油、气、煤等资本的散布情状呢？除了钻井间接取样如许的高成本办法，更多的是依靠间接的办法，即地球物理勘探，而其核心则能够回结于数学中的求解微分方程反演问题。
数学在气候预告中同样发扬着核心感化。现代气候预告的准确性不只依靠先辈的探测手艺（如卫星、雷达），更需要倚靠先辈的数值气候预告形式以及快速的计算办法。然后者在素质上都是数学问题。我国闻名气象学家、利用数学家曾庆存曾获得2019年度国度更高科技奖，他也是世界上第一个用原始方程停止气候预告的科学家。
曾庆存（1935-）
在航空范畴，飞机的外形设想、航空策动机的设想等等最末都是要处理数学、物理问题。那些问题本色是复杂的流体力学问题。在飞机设想中，数学数值办法的引进能够大大降低风洞尝试的次数，从而极大地缩小设想周期和成本。
在航天范畴，数学同样也起着至关重要的感化。在飞翔轨道抉择、推力规划计划造定、航天器有效载荷规划设想等等都有赖于数学办法。那此中，无论是卫星仍是火箭轨道，拉格朗日点是一个必知的概念。事实上，拉格朗日是出生在意大利的法国数学家、力学家、天文家，他在变分法、微分方程、数论等数学的多个分收有出色奉献，有拉格朗日中值定理、拉格朗日内插法、拉格朗日乘子法等许多以他定名的办法和定理。
拉格朗日（1736-1813）及拉格朗日点示企图
主动导航和主动驾驶等可以得以实现，本色都是人类操纵数学的办法和手段操练计算机、编写法式，使得计算机拥有那些才能。此中的道路规划，无论是途径最短仍是时间最短，都能够回结为图与收集流的优化问题。
数学在图像阐发和图像处置的开展中也起着关键感化。好比，图像往噪现实上就是求解稀少优化问题。如下图，通过求解一个数学问题，我们就能够把一个加了噪声的照片（右）恢复成原始清晰的照片（左）。
压缩感知手艺也是图像处置中运用较多的手艺，为的是用起码的存储单元笔录尽可能清晰的图像。那个问题在科学、工程以及国防等诸多方面有重要利用，该问题的核心是求解一个大规模（变量个数几万万以至上亿）的线性方程组问题，而且期看求得的解尽可能稀少（即尽量多的重量为零）。那个问题描述起来很简单，但素质上是一个十分困难的问题（NP难问题）。陶哲轩等人证明了该困难问题在必然前提劣等价于1-范数优化问题（随便问题）。陶哲轩是出生于澳大利亚的华裔数学家，他在中学就获过奥赛金牌，后来得了菲尔兹奖，在数论、调和阐发、偏微分方程、组合论等多个标的目的有凸起奉献，一度被称为“世界上最伶俐的人”。
陶哲轩（1975-）
我们还能够操纵数学办法将一张照片停止有趣的图片编纂。好比，给一张红叶的照片，再拿一张黄叶树的照片供给色彩计划，就能得到一张黄叶照片。在数学上，其实就是摘用更优传输算法将一个概率散布转换为另一个概率散布，从而实现照片的转换。
读者们可能很难想象，微分几何如许的纯数学在图像处置中也发扬着浩荡感化。传统的肠镜查抄往往给病人带来痛苦和不适，让人看而却步。而虚拟肠镜手艺操纵CT扫描获得断层图像，颠末朋分和三维重建，即可得到肠子的三维模子。在物理上类似于把肠子给切割、抻开，从而在二维平面长进行病理检测。那种手艺就是操纵了数学的里奇流做为东西将弯曲的曲面保角地变更到平面上。
里奇流是美国数学家汉密尔顿1982年定义的，以意大利数学家里奇的名字定名。里奇流那一东西在俄罗斯天才数学家佩雷尔曼证明庞加莱料想中发扬了浩荡感化。佩雷尔曼是一位传奇的数学家，他回绝承受菲尔兹奖，还回绝了Clay研究所供给的百万美金的奖金。
里奇（1853-1925）、汉密尔顿（1943-）与佩雷尔曼（1966-）
在通信中，数学也起着至关重要的感化。通信编码体例、天线设想、通信资本优化设置装备摆设等素质上都是数学问题。我国在5G范畴处于国际领先地位，而5G原则恰是基于土耳其数学家阿勒坎提出的极化码理论。
勒坎（1958-）
在战争中，能否破译敌方密码对战争的走势影响浩荡。事实上，无论密码设想仍是密码破译都是数学问题。日常生活中，常见的密码是摩尔斯电码，用“短”“长”两种电信号停止编码，在数学上就是用二进造来表达。急促的记为点“・”，长的记为“—”。最常用的是求救信号：“・・・”“— — —”“・・・”（SOS）。用光信号同样能够用快速地闪三下，然后拉长时间闪三下，再快速闪三下来表达SOS。那也是野外徒步或探险往往会配备强光手电筒的启事。创造那种密码的摩尔斯是美国画家，也是一位创造家。
摩尔斯（1791-1872）与摩尔斯密码
谈到治理科学、金融经济等范畴的开展，数学更是居功至伟。金融衍消费品的订价、投资理财等素质上都是数学问题，涉及到随机阐发、统计、微分方程、运筹等等。寡所周知，诺贝尔奖没有数学奖。但很多数学家获得过诺贝尔经济学奖。此中之一是美国数学家纳什。他广为人知的次要原因是好莱坞片子《标致心灵》就是以他的传奇故事为原型的。纳什创建了计谋论的数学原理，即纳什平衡理论，该理论在贸易决策中有着普遍利用。他也因而获得了1994年的诺贝尔经济学奖。纳什还因其在微分方程方面的奉献获得了2015年的阿贝尔奖。
纳什（1928-2015）与夫人2002年于北京
生命科学中的许多重要问题，如卵白量折叠、基因比对、药物设想等都需要操纵数学办法。以卵白量折叠为例，仅晓得基因组序列其实不足让我们足够领会卵白量的功用。而构造决定功用，因而获取卵白量折叠后的三维构造至关重要。而卵白量折叠的过程和最末构造都能够通过数学办法停止模仿和揣测。
上面许许多多的例子告诉我们，数学确实无处不在。天然和生活中呈现的任何现象，我们都能够用数学理论、数学办法停止阐发和阐明。闻名数学家拉普拉斯曾说过：“大天然的一切都是少数永久法例的数学推论”。
拉普拉斯（1749-1827）
注：本文节选自《数学闲谈》一书，做者袁亚湘，赛先生获受权转载，略做编纂。
造版编纂｜Livan
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