在数学中，一个代数构造由一个非空集A（称为根底集）、对A的操做的聚集（凡是是加法和乘法等二元操做）和一个有限的恒等式集（称为公理）构成，那些操做必需称心那些恒等式。
数，更好是不看成个此外对象，而是看做数系的元素。数系里面包罗了一些对象（即数），以及施加于它们的一些运算（如加法和乘法）。如许，数系就是一个代数构造。然而，还有许多不是数系的重要的代数构造。
群
若S是一个几何图形，S上的一个刚性运动，就是一种挪动S的体例，使得在此运动中，S的肆意两点的间隔稳定（就是不容许挤压和拉伸）。假设在一个刚性运动以后，S的外形稳定，就说那个刚性运动是S的一个对称。举例来说，设S是一个等边三角形，让S绕它的中心扭转120°，那个扭转就是一个对称；S关于颠末其一个顶点与该点对边中点的曲线做反射，那也是一个对称。
更形式地说，S的一个对称就是一个由S到其本身的函数f，使得S的肆意两点x与y的间隔与变更后的两点f（x）与f（y）的间隔不异。
那个思惟能够大大地妥帖∶假设S是肆意的数学构造，S的对称就是一个由S 到其本身的连结那个构造的函数。因为有如许的普遍性，对称在数学里面就是一个渗入到遍地的概念∶只要哪里有了对称呈现，群的概念就会紧紧地跟上来。
为什么会如许？令f是顶点为 A，B，C的等边三角形，设它的边长为1。那时，f（A），f（B），f（C）就是此三角形中的三个点，那个三角形中肆意两点的最远间隔是1。不难看到，一旦选定了f（A），f（B），f（C），则三角形内肆意点处f的值也就完全确定了。
例如，设X是A，C两点的中点，f（X）也就必然是f（A）和f（C）的中点。
让我们写出 A，B，C三点在变更以后的次序，由此来记那些对称。所以，举例来说，对称ACB就是连结A点不动，而令B，C交换位置的对称，只要把三角形关于过 A 和 B，C 中点的连线做反射，就能够得到那个对称。一共有3个如许的对称∶ACB，CBA，BAC，还有两个扭转BCA，CAB。最初还有一个"普通的"对称ABC，它让所有的点都不动（那个“普通的”对称的用途，刚好和零在整数加法的代数里的感化一样）。
使得对称的那一个聚集成为群的，是肆意两个对称能够互相复合，意思是一个对称以后再跟着一个对称就会产生第三个对称。例如，假设在反射 BAC 后面再来一个反射ACB，就会得到一个扭转CAB。要但是重视，停止对称的次序是有关系的∶假设是先做反射 ACB，再做 BAC，就会得到扭转 BCA。
我们把对称自己也看成“对象”。而把复合看成是关于那些对象的代数运算，有点像加法和乘法之于数一样。那个运算有下面的有用的性量∶
它是连系的，
普通对称是恒等元，
而每一个对称都有逆。
更一般地说，任何一个带有一个二元运算的聚集，若此运算有以上的性量，就喊做一个群。
至于那个运算能否可交换，那并非群的定义的一部门，因为如我们适才所看见的，复合两个对称时，哪一个在先，哪一个在后是有区此外。然而，假设那个二元运算是可交换的，那个群就成为阿贝尔群。数系Z，Q，R，C关于加法都是阿贝尔群，或者用我们常用的说法，它们在加法下成为阿贝尔群。假设把零从Q，R，C中除往，它们在乘法下也是阿贝尔群，但是Z并非，因为贫乏逆元∶整数的倒数，一般并非整数。
域
在数学中，域是一组定义加减乘除运算的聚集，其行为好像对有理数和实数的响应运算。因而，域是一种根本的代数构造，普遍利用于代数、数论和许多其他数学范畴。最有名的域是有理数域，实数域和复数域。许多其他域，若有理函数域、代数函数域和代数数域是数学中常用和研究的域，特殊是数论和代数几何。
两个域之间的关系用域扩展的概念表达。伽罗瓦理论，努力于理解域扩展的对称性。那个理论表白，角的三分和化圆为方不克不及用圆规和曲尺完成。此外，它表白五次方程一般是代数不成解的。
域（Field）在交换环的根底上，增加了二元运算除法，要求元素（除零以外）能够做除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种能够停止加减乘除（除0以外）的代数构造，是数域与四则运算的妥帖。整数聚集，不存在乘法逆元（1/3不是整数），所以整数聚集不是域。
固然好几个数域都是群，但是只把它们看成群就是漠视了其代数构造的很大一部门。特殊是，群里面只要一个二元运算，原则的数系却有两个，即加法和乘法（由此还能够得到其他附加的运算，如减法和除法）。域的形式定义很长，它是一个具有两个二元运算的聚集，还有几个那些运算必需称心的公理。有一个好办法来记忆那些公理。先把数系Q，R和C中的加法和乘法所称心的性量写出来。
那些性量如下：
加法和乘法都是可交换的以及连系的，二者都有恒等元（关于加法是0，关于乘法是1）。
每个元素 x 都有加法逆 -x 和乘法逆1/x（但是0 没有乘法逆）。恰是因为那些逆元的存在，使得我们可以定义减法和除法∶x-g意思就是x＋（-y），而x/y则是x·（1/y）。
那就笼盖了加法和乘法零丁具有的全数性量。但是在定义数学构造时，有一个很一般的原理∶假设一个数学定义能够分红几个部门，则除非那些部门能够彼此感化，不然那个定义是没有什么意思的。如今加法和乘法就是那两个部门，而迄今所讲到的性量并未把它们以某种体例毗连起来。
但是最初还有一个性量，即分配律，做到了那一点，从而完成了关于域的性量的描绘。那就是把括号乘开来的规则∶关于域中的肆意三个元x，y和z，有x（y＋z）=xy＋xz。
在列出了那些性量以后，能够笼统地来对待整个情状，并把那些性量看做公理，于是我们说∶域就是具有两种二元运算的聚集，那些运算需合适以上全数公理。但是，当我们在域中处置研究时，凡是并非把那些性量看成公理的清单，而是看做一个答应证∶容许我们在此中做有理数域、实数域和复数域中的所有代数运算。
很清晰，公理越多，觅觅称心它们的数学构造就越难，碰着域的情状比碰着群的情状更少见一些。因而，理解域的更好的办法可能莫过于集中重视于例子。除了Q，R和C以外还有一个域跳了出来，成为域的一个根本的例子，它就是整数 mod p（那里p是一个素数）所成的聚集 F_p，此中的加法和乘法都是 mod p 来定义的。
使得域有意义的其实还不在于存在那些根本的例子，而在于有一个重要的过程与域有关，那个过程称为域的扩大，它使我们可以从本来的域构造出新的域来。那里的思惟是∶先已有了一个域F，找一个多项式P使它的根不在F中，然后把一个新的元素“附加”到F上，规定那个新元素是P的不在F中的根。用那个根和F中的元素通过一切可能的加法和乘法做出新的式子来，那些式子就构成了一个新的域F'。称为F的扩大。
我们看一下域R的扩大过程的一个例子。多项式
在R中没有根，于是我们把i附加到R上往，得到了所有形如a＋bi，（a，b∈R）的式子，如许就得到了复数域C。
我们也能够把那个过程用于F_3，P（x）=x^2＋1在此中也没有根。如许，也会得到一个新的域，它和C一样，也是形如a＋bi的复合所成的一个聚集，但是如今的 a 和 b都是F_3的元素。因为 F_3中只要3个元，所以如今的新域只要9个元素。再一个例子是
它是
如许的数的聚集，a和b是有理数。
Q（γ）是一个略微复杂的例子，那里γ是多项式 x^3-x-1的根。 那个域的典型的元素就是形如 a＋by＋cγ^2的式子，而a，b和c是有理数。假设我们在Q（γ）中做算术，则见到γ^3就要把它换成γ＋1（因为γ^3-γ-1=0），正如在复数域中见到i^2就要换成-1一样。为什么域的扩大很重要？以后讨论。
引进域的第二个十分值得重视的处所是，它们能够用来构成向量空间。
向量空间
表达平面上一个点的最便利的办法之一是利用笛卡儿坐标。选一个原点互相成曲角的标的目的 X，Y。假设从原点动身，沿标的目的 X走过间隔 a，再从那一点陆续沿标的目的Y走过间隔b，那么（a，b）那一对数就表达所到达的平面上的点。
同是那件事换一个说法是∶令x和y表达X和Y标的目的的单元向量，它们的笛卡儿坐标别离是（1，0）和（0，1）。那时，平面上的每一个点都是基底向量x和y的线性组合 ax＋by。
下面是线性组合呈现的另一个情状。一个（线性）微分方程
晓得了y=sinx和y=cosx是两个可能的解，则随便验证，关于肆意的数a和b，y=asinx+bcosx也是解。就是说，已经存在的解sinx 和 cosx 的肆意线性组合仍然是解。成果会得出，所有的解都是那种形式，所以我们把 sinx 和 cosx 也看成那个微分方程的解"空间"的"基底向量"。
线性组合呈现在整个数学的许多情状下。再给一个例子，肆意的3次多项式的形式都是
它是四个基底多项式1，x，x^2，x^3的线性组合。
向量空间就是一个线性组合概念在此中有意义的数学构造。属于此向量空间的对象，除非我们在讨论一个特定的例子，或者把它想做一个详细的对象，如多项式或线性微分方程的解的时候，凡是就称为向量。略微形式化一点，一个向量空间就是一个聚集V，使得对此中肆意两个向量（即V的元素）w和w，以及肆意两个实数a和b，都能够构成其线性组合av＋bw。
重视，线性组合涉及两个差别类的对象，一类是向量v和w，另一类是数a和b。后者称为标量。构造线性组合的运算能够分红两个构成部门，即加法以及乘以标量。为了构造出 av＋bw，先要用标量a和b往乘向量v和 w，别离得出向量av和bw，再把所得的向量加起来，得出完全的线性组合av＋bw。
线性组合的定义必需从命一些天然的规则。下列的相加如果可交换的和连系的，就有恒等元（称为零向量）。关于每一个向量v，又必需有逆元（记做-v）。乘以标量也要从命某种连系律，即 a（bv），（ab）v 必需恒相等。我们也需要两个分配律，即对肆意的标量a，b和肆意的向量v，w均有（a＋b）g=av＋bv，以及a（v＋w）=av＋aw。
给定了一个向量空间V以后，所谓它的基底无非就是具有以下性量的一组向量∶v_1，V_2，…，V_n，而V的肆意元素，即肆意向量都能够用独一的体例写成它们的一个线性组合
可能有两种情状使得那件事失败∶一是可能有某个向量不克不及写成 v_1，V_2，…，V_n的线性组合，二是可能有一个向量固然能够写成那种线性组合，但是写法不行一种。假设V的所有向量都能够写成v_1，V_2，…，V_n的线性组合，就说v_1，V_2，…，V_n张成了整个空间 V。假设没有哪一个向量能以多于一种体例写成它们的线性组合，就说v_1，V_2，…，V_n 是独立的。一个等价的定义是∶v_1，V_2，…，V_n是独立的，假设把零向量写成
的办法只能是取
基底中元素的个数称为V的维数（简称维）。一个向量空间不会有两个大小差别的基底，那一点并不是显然，但是能够证明确实不会有，所以维的概念才有意义。关于平面，前面说到的向量x和y构成了一个基底，所以平面的维数是2。
最明显的n维向量空间就是由n个实数所成的序列（x_1，x_2，…，x_n）的空间。假设要把序列（y_1，y_2，…，y_n）加到它上面往，只需构造序列（x_1+y_1，x_2+y_2，…，x_n＋y_n）即可，要用标量c往乘它，只需做（cx_1，cx_2，…，cx_n）即可，那个向量空间记做
基底中的向量的个数其实不必然是有限数。一个没有有限基底的向量空间称为无限维的。许多最重要的向量空间，特殊是“向量”为函数的向量空间，常是无限维的。
关于标量，还有最初一个阐明。在前面标量是定义为构造向量的线性组应时所用的实数。实正重要的是它们必需属于一个域，所以Q，R 和C都能够用做标量的系统，说实的，更一般的域也是能够的。假设一个向量空间V的标量来自域F，就说V是域F上的向量空间。那个妥帖重要并且有用。
环
另一个十分重要的代数构造是环。环关于数学其实不如群、域或向量空间那样处于中心地位。粗略地说，环就是具有域的几乎所有的但不是所有性量的代数构造。特殊是关于乘法运算，环就不如域要求得那么严厉，最重要的放松之处是，不要求环中的非零元具有乘法逆，并且有时环的乘法纷歧定是可交换的。假设它是，那个环就喊做可换环——可换环的典型例子就是所有整数的聚集Z，另一个例子是系数在某个域F中的多项式的聚集。
来自：老乱说科学