解:因a1-1,a2=(a1+2)/(a1+1)=1+1/(a1+1)1,以此类推，
可知当n≥2时，有an1
1、an与√2的大小是交织正负，频频改变的。证明如下：
an-√2=[a(n-1)+2]/[a(n-1)+1]-√2
=(√2-1)*[√2-a(n-1)]/[a(n-1)+1] （1）式
(此中n-1指下标)
当a(n-1)√2时,an-√20,an√2,其详细改变情状与a1有关。
假设a1√2,则a2√2,a4√2，偶数项√2,a3√2。。。。交织频频改变。
此中奇数项√2。
假设a1=√2，an=√2恒成立。
2、a(2n+1)=[a(2n)+2]/[a(2n)+1]
a(2n)=[a(2n-1)+2]/[a(2n-1)+1],可得出：
a(2n-1)=[2-a(2n)]/[a(2n)-1]
a(2n+1)-a(2n-1)={2[a(2n)]^2-4}/{[a(2n)]^2-1}
=2[a(2n)-√2][a(2n)+√2]/{[a(2n)]^2-1}
当a1√2时,偶数项a(2n)√2,得a(2n+1)-a(2n-1)0,
即a(2n+1)a(2n-1)。
3、由第一问（1）式得：
an-√2=(√2-1)*[√2-a(n-1)]/[a(n-1)+1] 即
(an-√2 )/[√2-a(n-1)]=(√2-1)/[a(n-1)+1]
因[a(n-1)+1]1+1=2,[因an1]
故(√2-1)/[a(n-1)+1]
令q=(√2-1)/2。
│a1-√2│+│a2-√2│+│a3-√2│+。。。。│an-√2│
即│a1-√2│+│a2-√2│+。。。。│an-√2│
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