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\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexbook}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%可能要用到的宏包
\usepackage{bm}
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%在利用了amsthm宏包之后，能够设置定理情况。
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%题目
\title{{\Huge{\textbf{量子场论进修条记}}}\\}
\author{Mr.Cai}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}
\begin{center}
\Huge\textbf{媒介}
\end{center}~\
\noindent 保举教材\\
\\
英文\\
1、Peskin Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory：系统，易读。本课以此为次要参考教材；\\
2、M.D.Schwartz, QFT and the Standard Model：现代，写于2013年，本课参考教材之二；\\
Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vol.1：深入但艰深，合适研究者或教师。初学者学不建议做为教材利用。\\
\\
中文\\
1、周邦融，《量子场论》；\\
2、郑汉青，《量子场论》(上、下)，国内最新，本课做为弥补参考教材；\\
3、其他：墨洪元、戴元本、李灵峰、黄涛等人的专著。\\
\\
~\\
\begin{flushright}
\begin{tabular}{c}
蔡新庭\\
\today
\end{tabular}
\end{flushright}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%目次页
\newpage
\pagenumbering{Roman}
\setcounter{page}{1}
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%注释
\chapter{什么是QFT？为什么要进修QFT?}
%-------------1.1 关于QFT----------%
\section{关于QFT}
\noindent $\bullet$ 问：什么是QFT？\\
答：QFT是典范场论的量子化，包罗无限多自在度，因而比单粒子量子力学复杂得多。\\
\\
考虑单粒子谐振子(NRQM)哈密顿量:
%-------------式（1.1）------------%
\begin{equation}
\mathcal{\hat{H}}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m^{2}\omega^{2}x^{2}
\label{式(1.1)}
\end{equation}
%-------------式（1.1）------------%
\noindent 对应的谐振子能级：
%-------------式（1.2）------------%
\begin{equation}
E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega
\label{式(1.2)}
\end{equation}
%-------------式（1.2）------------%
\noindent$\bullet$ QFT能够看成是无限多个谐振子的结合。\\
\noindent$\bullet$ 具有极其普遍的应用：高能物理、核物理、原子物理、凝聚态物理，以至宇宙学。
从最微不雅，到最宏不雅系统。\\
\noindent$\bullet$ 具有强大的预言才能：例如电子的反常磁矩，QED预言与尝试丈量可达$10^{-9}$的精度。\\
\noindent$\bullet$ 狭义相对论（量能方程$E=mc^{2}$）+ 量子力学 （ 薛定谔方程 $ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\mathcal{\hat{H}}\psi$）
可暗示为：
%-------------式（1.3）------------%
\begin{equation}
QFT=SR+QM
\label{式(1.3)}
\end{equation}
%-------------式（1.3）------------%
\noindent$\bullet$ 粒子是场激发对应的量子。如：\\
\indent 电磁场的激发：光子\\
\indent 标量场的激发：标量粒子，如Higgs boson\\
\indent 电子场的激发：电子\\
\indent 凝聚态物理中的准粒子、元激发等\\
\noindent$\bullet$ QFT能够描述粒子数改动的过程(QM中粒子数守恒但QFT没必要如斯)\\
例1：原子自觉辐射：电子由低激发态跃迁回基态(无中生有地)释放出光子，非相对论量子力学(NRQM)无法解释 。1927年，Dirac给出解释：电子场与电磁场的彼此感化激发光子。；\\
例2：原子核的$\beta$衰变：$n\to p+e+\bar{v_{e}}$(中子$\to$量子+电子+反中微子) (1930s初期，Fermi用4粒子(4种场)的彼此感化解释)
%-------------1.1 关于QFT----------%
%-------------1.2 汗青回忆 -- 相对论性的颠簸力学 -- pre-QFT------------%
\section{汗青回忆 -- 相对论性的颠簸力学 -- pre-QFT}
\indent 固定粒子数的相对论性量子力学始于德布罗意、薛定谔、Klein、Gordon、狄拉克。早期获得了必然的胜利，但最末必需让位于QFT，次要是因为三大困难：\\
\noindent
$\star$负能解问题：相对论性颠簸方程有负能解，意味着系统能量能够肆意低，招致实空不不变；\\
$\star$负几率问题：K-G方程的解对应的几率密度$ \rho(x)=|\psi|^{2} $不再正定,必需放弃波函数几率诠释(Born的诺贝尔奖)；\\
$\star$毁坏因果性：按照相对论，类空间隔的事务之间不存在因果性；相对论性颠簸力学里，因果性被毁坏。\\
\noindent$\bullet$ Einstein光量子假说(1905): $E=hv=\hbar \omega$\\
\noindent$\bullet$ de Broglie物量波假设(1923)：受SR与光量子假设的影响，导出自在电子的波函数。\\
\indent 在SR中有4-动量：
%-------------式（1.4）------------%
\begin{equation}
P^{\mu}=\left(\frac{E}{c},p\right)
\label{式(1.4)}
\end{equation}
%-------------式（1.4）------------%
\indent 对一个物量波（平面波）：
%-------------式（1.5）------------%
\begin{equation}
\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{i(k^{\mu}x_{\mu})}=e^{i(kx)}
\label{式(1.5)}
\end{equation}
%-------------式（1.5）------------%
\indent 那里，4度波失量 $k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k\right)$，此中$k^{\mu}x_{\mu}$ 是洛伦兹标量，$x^{\mu}=(ct,\vec{x})$。\\
\indent 所以$k^{\mu}$也必需是4-矢量，有$k^{\mu}\propto P^{\mu}$，那里，
%-------------式（1.6）------------%
\begin{equation}
P^{\mu}=\hbar k^{\mu}\Leftarrow\begin{cases}
E=\hbar \omega=hv\\
P=\hbar k=\frac{h}{\lambda}
\end{cases}
\label{式(1.6)}
\end{equation}
%-------------式（1.6）------------%
\indent 操纵爱因斯坦量能关系，可知角频次$\omega$与波矢$\lambda$彼此不独立:
%-------------式（1.7）------------%
\begin{equation}
P^{2}=P^{\mu}P_{\mu}=m^{2}c^{2}\Rightarrow E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\Rightarrow\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=k+(\dfrac{mc}{\hbar})^{2}
\label{式(1.7)}
\end{equation}
%-------------式（1.7）------------%
\noindent$\bullet$ Davisson-Germer尝试(1927)：察看到电子散射晶体时的衍射现象，证了然物量波假设。(de Broglie因而获得诺奖)
%-------------Klein-Gordon方程------------%
\subsection{Klein-Gordon方程}
\noindent Klein-Gordon方程（克莱因，戈登）$\Rightarrow$ 最早由Schrödinger起首提出\\
\noindent$\bullet$ 回忆一下熟悉的non-relativistic QM ，对自在粒子，
%-------------式（1.8）------------%
\begin{equation}
E=\frac{p^{2}}{2m}\Rightarrow
\begin{cases}
E=\hbar \omega \rightarrow \hbar i\frac{\partial}{\partial t}\\
P=\hbar k \rightarrow \hbar(-i\nabla)
\end{cases}
\Rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\dfrac{-\hbar^{2}\nabla^{2}}{2m}\psi
\label{式(1.8)}
\end{equation}
%-------------式（1.8）------------%
\indent 我们得到自在粒子的Schrödinger方程。\\
\noindent$\bullet$ 对 relativistic，由相对论色散关系（$E^{2}=\vec{p}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$），
%-------------式（1.9）------------%
\begin{equation}
E^{2}=\vec{p}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\Rightarrow
\begin{cases}
E\rightarrow i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\\
P\rightarrow -i \hbar\grad
\end{cases}
\Rightarrow
\left (\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\hbar^{2}c^{2}\nabla^{2}-m^{2}c^{4}\right)\psi=0
\label{式(1.9)}
\end{equation}
%-------------式（1.9）------------%
\noindent $\bullet$ 达朗贝尔算符$\square^{2}$：
%-------------式（1.10）------------%
\begin{equation}
\square^{2}=\partial^{\mu}\partial_{\mu}=g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}
\label{式(1.10)}
\end{equation}
%-------------式（1.10）------------%
\indent 此中达朗贝尔算子$\square^{2}$是Lorentz稳定量，将式（1.10）带入式（1.9)最初部门，得到Klein-Gordon方程的表达式（1.11）：
%-------------式（1.11）------------%
\begin{equation}
\left[\square^{2}+\left(\dfrac{mc}{\hbar}\right)^{2}\right]\psi\left(\vec{x},t\right)=0
\label{式(1.11)}
\end{equation}
%-------------式（1.11）------------%
\noindent$\bullet$ K-G方程的平面波解，令：$\psi\left(\vec{p},t\right)=e^{i(\vec{p}·\vec{x}-Et)}$ 带入K-G方程,得到量能关系:$E^{2}=\vec{p}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$和能量解：$E=\pm \sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$ \\
\indent 那里E有负能解，典范物理中负能解不招致任何严峻后果，能量不成能持续从正变革到负；
在QM世界里，量子跃迁能够间接从高能态跳到低能态，也就能从正能态跃迁到负能态，在大量粒子下没有不变的基态/实空不不变！那是相对论性颠簸力学“三宗功”其一。\\
\noindent$\bullet$ 在NRQM中，由Schrödinger方程可推导出持续性方程(几率流守恒)：
%-------------式（1.12）------------%
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}|\psi|^{2}+\nabla \left[\dfrac{i\hbar}{2m}\left(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}\right)\right ]=0
\label{式(1.12)}
\end{equation}
%-------------式（1.12）------------%
\centerline { $\Rightarrow$ }
%-------------式（1.13）------------%
\begin{equation}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla ·\vec{j}=0
\label{式(1.13)}
\end{equation}
%-------------式（1.13）------------%
\noindent$\bullet$ 从K-G方程动身，仍然可得到持续性方程：$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla ·\vec{j}=0 $,此中
$\begin{cases}\rho=N Im\left(\psi^{*}\frac{\partial}{\partial t}\psi\right)\\
\vec{j}=Nc^{2}Im\left(\psi^{*}\nabla\psi\right) \end{cases}$。
\noindent $\rho$因为K-G方程含有$ \dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} $！而$\rho=N Im\left(\psi^{*}\frac{\partial}{\partial t}\psi\right)$ 中呈现$ \frac{\partial}{\partial t}$，那意味着$\rho$能够取负值，可能呈现负几率，此即“三宗功”其二。
%-------------Klein-Gordon方程------------%
%-------------Dirac方程--------------%
\subsection{Dirac方程}
\indent Dirac对K-G方程很不满意，给出了一个自洽的相对论性颠簸方程。克制负几率问题(后来也趁便缓解了负能解问题并获得诺奖)。\\
~\\
\noindent$\bullet$ 狄拉克对峙只含$ \frac{\partial}{\partial t}$一阶导，而且$ \hat{H} $不含根号，把波函数$ \psi $扩展到矢量$ \psi=\begin{pmatrix}
\psi_{1}\\\psi_{2}\\\vdots\\\psi_{4}
\end{pmatrix} $, 引入矩阵，带入到Schrödinger方程： $ \hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi $，
%-------------式（1.14）------------%
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi =\hat{H}\psi=\left[-ihc \vec{\alpha}·\nabla+\beta mc^{2}\right]\psi
\label{式(1.14)}
\end{equation}
%-------------式（1.14）------------%
\indent 那里$ \alpha^{i} ~(i=1,2,3)$, $ \beta $ 都是待定的$ n\times n $维矩阵。\\
\noindent $\bullet$ $ \hat{H} $取平方，然后再感化到$ \psi $上,
%-------------式（1.15）------------%
\begin{equation}
\begin{split}
\hat{H}^{2}\psi &=\left(-ihc \vec{\alpha}·\nabla+\beta mc^{2}\right)^{2} \psi\\
&=\left(-ihc\sum_{\mu}\alpha^{\mu}\partial_{\mu}+\beta mc^{2}\right)^{2}\psi \\
&=\left(-\hbar^{2}\sum_{\mu,\nu=1}^{3}\frac{1}{2}\left\{\alpha^{\mu},\alpha^{\nu}\right\}\partial_{\mu}\partial_{\nu}-i\hbar mc^{3}\sum_{\mu=1}^{3}\left\{\alpha^{\mu},\beta\right\}\partial_{\mu}+m^{2}c^{4}\beta^{2}\right) \psi
\end{split}
\label{式(1.15)}
\end{equation}
%-------------式（1.15）------------%
\indent 由Klein-Gordon方程：$ -\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\psi=(-\hbar^{2}c^{2}\nabla^{2}+m^{2}c^{4})\psi $,可知式（1.15）需要满足$ \begin{cases}\left\{\alpha^{\mu},\beta\right\}=0\\
\beta^{2}=I_{n\times n} \\\left\{\alpha^{\mu},\alpha^{\nu}\right\}=2\delta^{\mu\nu}I_{n\times n} \end{cases}$。 \\
\indent 我们发现$ n $ 至少为4，所以$ 2\times 2 $的矩阵不满足。因为2×2的只能凑出3个Pauli矩阵满足上述前提，却满足不了$ \beta $的前提。因而，我们凡是定义：$ \gamma^{0} =\beta $ , $ \vec{\gamma}=\beta\vec{\alpha} $。因而能够引入一个Lorentz目标： $ \gamma^{\mu}=\left(\gamma^{0} ,\vec{\gamma}\right) $,称为Dirac-$ \gamma $矩阵。\\~\\
\indent 那里，
\( \gamma^{0}=\begin{vmatrix}
I & 0\\
0 &-I
\end{vmatrix} \) , \(\gamma^{\mu}=\begin{vmatrix}
0 & \sigma_{\mu}\\
-\sigma_{\mu} &0
\end{vmatrix} \) $(\mu=1,2,3)$
\\~\\
\noindent $\bullet$ Dirac方程可写为：
%-------------式（1.16）------------%
\begin{equation}
\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-\dfrac{m c}{\hbar}\right)\psi\left(\vec{x},t\right)=0~,~ \psi\left(\vec{x},t\right)=\begin{pmatrix}
\psi_{1}\\\psi_{2}\\\psi_{3}\\\psi_{4}\end{pmatrix}
\label{式(1.16)}
\end{equation}
%-------------式（1.16）------------%
\indent 满足: $ \left\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right\}=2 g^{\mu\nu}I_{4\times 4} $ , $\mu, \nu =0,1,2,3 $。此中, 度规张量$ g^{\mu\nu}=g_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1) $。\\
\noindent $\bullet$ 对持续性方程：$ \partial_{t}\rho+\nabla ·\vec{j}=0 $，那里有:$ \rho=\psi^{\dagger}\psi $ , $ \vec{j}=c\psi^{\dagger}\vec{\alpha}\psi $。进一步，有：$ \rho=|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2}+|\psi_{3}|^{2}+|\psi_{4}|^{2} \ge 0$恒正定，那里克制了负几率的费事。
\noindent $\bullet$ 方程的四个解中，别离两两对应：$E=\pm \sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$ ，因而负能级的解问题仍然存在。\\
\noindent $\bullet$ Dirac的解释：负能态的电子占据了狄拉克海(Dirac Sea)，按照Pauli不相容原理，正能态的电子不会跃迁到负能态上，如许就不会呈现实空不不变问题。\\
\noindent $\bullet$ 正电子的预言：实空是负能级被填满、正能级电子不存在的形态。当负能级电子激发后，会在实空中留下一个正能量、正电荷的空穴，那就预言了正电子(Positron)的存在。\\
\noindent $\bullet$ 正电子的发现：1932年，Anderson发现正电子轨迹，并因而获得诺贝尔奖。但其实更早时候中国物理学家赵忠尧先生发现了正负电子湮灭，可惜被提名时一度遭到量疑\\
\noindent $\bullet$ Dirac理论的一个庞大成就是用第一性原理办法准确预言了电子自旋磁矩：$ \mu=\dfrac{e \hbar}{2 m c} $,电子自旋: $ \frac{\hbar}{2} $。
K-G方程描述的粒子自旋为0，因而无法描述电子，但Dirac方程碰巧处理了那个问题。\\
%-------------Dirac方程--------------%
%------------解氢原子能级------------%
\subsection{解氢原子能级}
\noindent $\bullet$ Schrödinger方程解氢原子能级.对氢原子，通过解Schrödinger方程能得到Bohr能级：$ E_{n}=-\dfrac{m c^{2} \alpha^{2}}{2 n^{2}} $。此中精细构造常数(Fine Structure Constant)：$ \alpha=\dfrac{e^{2}}{4 \pi \hbar c}\simeq \frac{1}{137}$。\\
\noindent $\bullet$ K-G方程解氢原子能级.为了得到更精细的成果，用最小耦合的体例来引入电子和外电磁场的感化。引入外电磁场下的能量与动量算符：$\begin{cases}E\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+e \phi\\
\vec{p}\rightarrow -i \hbar\grad\rightarrow -i \hbar\grad+\dfrac{e \vec{A}}{c}\end{cases}$。\\
\indent 在外电磁场下，K-G方程变成：
%-------------式（1.17）------------%
\begin{equation}
\left[\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+e \phi\right)^{2}-c^{2}\left(-i \hbar\grad+\dfrac{e \vec{A}}{c}\right)+m^{2}c^{4}\right]\psi\left(\vec{x},t\right)=0
\label{式(1.17)}
\end{equation}
%-------------式（1.17）------------%
\indent 考虑氢原子：$ e\phi=\dfrac{e^{2}}{4\pi r} $ , $ \vec{A}=0 $。 把定态解：$ \psi\propto e^{\left(\frac{i E t}{\hbar}\right)} $代入式(1.17)得：
%-------------式（1.18）------------%
\begin{equation}
\left[\left(E+\dfrac{e^{2}}{4\pi r}\right)^{2}-c^{2}\hbar^{2}\grad^{2}-m^{2}c^{4}\right]\psi\left(\vec{x},t\right)=0
\label{式(1.18)}
\end{equation}
%-------------式（1.18）------------%
\indent 求解式（1.18）得到本征能级，电子运动速度迟缓，大要是 $ \frac{v}{\alpha}\simeq \frac{v}{137} $ ，可做非相对论系统处置,对本征能级做一个$ \alpha $的级数展开：
%-------------式（1.19）------------%
\begin{equation}
E_{nl}\simeq mc^{2}\left[1-\dfrac{\alpha^{2}}{2 n^{2}}-\dfrac{\alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\dfrac{n}{l+\frac{1}{2}}-\dfrac{3}{4}\right)+\dots\right]
\label{式(1.19)}
\end{equation}
%-------------式（1.19）------------%
\indent 此中：方括号内第1项为静能量；第2项为Bohr能级；第3项为精细构造，此中 $ l $为轨道角动量、1/2为电子自旋。\\
\indent NRQM里，Bohr能级$ E_{n} $ 是简并的，没有表现出精细构造。\\
\indent 昔时Schrödinger未颁发此方程的原因：得到的解与尝试成果不契合，而且其时不晓得电子有1/2自旋。\\
\noindent $\bullet$ Dirac方程解氢原子能级。在外场下的Dirac方程：
%-------------式（1.20）------------%
\begin{equation}
\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+e\phi\right)\psi =\left(-i\hbar\grad+e\vec{A}\right)·\vec{\alpha}\psi+\beta mc^{2}\psi
\label{式(1.20)}
\end{equation}
%-------------式（1.20）------------%
\indent 考虑氢原子：$ e\phi=\dfrac{e^{2}}{4\pi r} $ , $ \vec{A}=0 $。 把定态解：$ \psi\propto e^{\left(\frac{i E t}{\hbar}\right)} $代入式（1.20）得：
%-------------式（1.21）------------%
\begin{equation}
\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+\dfrac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0} r}\right)\psi =\left(-i\hbar\grad\right)·\vec{\alpha}\psi+\beta mc^{2}\psi
\label{式(1.21)}
\end{equation}
%-------------式（1.21）------------%
\indent 求解方程（1.21）得本征能级：
%-------------式（1.22）------------%
\begin{equation}
E_{nj}=\dfrac{mc^{2}}{\sqrt{1+\dfrac{\alpha^{2}}{\left(n-j-\frac{1}{2}+\sqrt{(j+\frac{1}{2})^{2}-\alpha^{2}}\right)^{2}}}}
\label{式(1.22)}
\end{equation}
%-------------式（1.22）------------%
\indent 将本征能级按$ \alpha $的级数展开：
%-------------式（1.23）------------%
\begin{equation}
E_{nj}\simeq mc^{2}\left[1-\dfrac{\alpha^{2}}{2 n^{2}}-\dfrac{\alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\dfrac{n}{j+\frac{1}{2}}-\dfrac{3}{4}\right)+\dots\right]
\label{式(1.23)}
\end{equation}
%-------------式（1.23）------------%
\indent 那给出了和其时尝试完全吻合的精细构造团结。
%------------解氢原子能级------------%
%------------电子反常磁矩问题------------%
\subsection {电子反常磁矩问题}
在1.4节说到，Dirac方程胜利预言了电子自旋磁矩：$ \mu=\dfrac{e \hbar}{2 m c} $,而且其时的尝试成果契合得十分好。但后来跟着尝试精度的进步，新的问题呈现了。在1947年，美国Shelter Island在一个学术会议上，给出新的电子自旋磁矩尝试成果：$ \mu=\dfrac{e \hbar}{2 m c}\left(1.00118\pm 0.00003\right) $。\\
\noindent $\bullet$ 随后，J.Schwinger给出了一个理论批改：$ \mu=\dfrac{e \hbar}{2 m c}\left(1+\frac{\alpha}{2\pi}\right)=\dfrac{e \hbar}{2 m c}\left(1.001162\right) $，通过QED的辐射批改，得到的成果在尝试的误差范畴内。\\
\noindent $\bullet$ 同在一个会议上，W.Lamb陈述了两个态$ 2S_{\frac{1}{2}}-2P_{\frac{1}{2}} $态在1000MHz的Splitting（能级差，那是出名的Lamb位移(Lamb Shift)。\\
\noindent $\bullet$ H.Bethe通过场论办法，用电子的自能给出领会释，后来Feynman给出了切确的成果。详细做法是考虑自在电子的自能和库仑场中电子自能的改动，两者之差正好是1000MHz。\\
\noindent $\bullet$ 关于1940年代给出的新现象，理论界用QFT(QED)能给出完美解释。\\
\noindent $\bullet$ 针对计算中呈现无限大的紫外发散，Feynman、Schwinger等还开展出新的办法：重整化理论(简单说就是用无限大减去无限大)，从而得到有限的成果。\\
\noindent $\bullet$ 1947年起头，人们进入现代量子场论期间。\\
%------------解氢原子能级------------%
%------------相对论性方程的因果性问题------------%
\subsection{相对论性方程的因果性问题}
\noindent $\bullet$ 两事务第一事务A$ (0,0,0,0) $和 第二事务B$ (x，y，z，t)$的间隔为:$ s^{2} =c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$。在类空间隔：$ s^{2}<0 $处，光速传布不到，A的扰动传布不到B，故事务A和B没有因果性。\\
\noindent $\bullet$ 考虑自在粒子从$ \vec{x_{0}} $到$ \vec{x} $的传布振幅：$ U(t)=\left<\vec{x}|e^{\frac{-iHt}{\hbar}}|\vec{x_{0}}\right> $。接纳天然单元造： $ \hbar=1,c=1 $。于是传布振幅改为：$ U(t)=\left<\vec{x}|e^{-iHt}|\vec{x_{0}}\right> $。\\
\noindent $\bullet$ NRQM：$ H=\dfrac{\vec{p}^{2}}{2m} $。传布振幅变成：$ U(t)=\left<\vec{x}|e^{-i\frac{\vec{p}^{2}}{2m}t}|\vec{x_{0}}\right> $。
插入单元算符的完整基性关系：$ 1=\int \dfrac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}|\vec{p}><\vec{p}| $,传布振幅酿成：
%-------------式（1.24）------------%
\begin{equation}
\begin{split}
U(t)&=\int \dfrac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}\left<\vec{x}|e^{-i\frac{\vec{p}^{2}}{2m}t}|\vec{p}\right>\left<\vec{p}|\vec{x_{0}}\right>\\
&=\int\dfrac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}e^{-i\frac{\vec{p}^{2}}{2m}t}e^{ip(x-x_{0})}
\label{式(1.24)}\\
&=(\dfrac{m}{2\pi it})e^{\frac{im(x-x_{0})}{2t}}
\end{split}
\end{equation}
%-------------式（1.24）------------%
\indent 显然， $ U(t) $ 对肆意 $ x,t $都非零，即便当 $ x-x_{0}\ge t $(超光速)时$ U(t) $ 不衰减到0，呈现了超光速的成果。\\
\noindent $\bullet$ 针对相对论情形，考虑相对论情况下的下的哈密顿量：$ H=\sqrt{\vec{p}^{2}+m^{2}} $。传布振幅为： $ U(t)=\left<\vec{x}|e^{-i\sqrt{\vec{p}^{2}+m^{2}} t}|\vec{x_{0}}\right> $。插入动量本征态的完整性关系后化简后得：$ U(t)=\dfrac{1}{(2\pi)^{3}}\int d^{3}p~ e^{-i\sqrt{\vec{p}^{2}+m^{2}} t}e^{i\vec{p}·(\vec{x}-\vec{x_{0}})}$。将其写成球坐标形式：
%-------------式（1.25）------------%
\begin{equation}
U(t)=\dfrac{1}{\left(2\pi\right)^{2}} \dfrac{1}{|\vec{x}-\vec{x_{0}}|}\int dp~\sin(p|\vec{x}-\vec{x_{0}}|)e^{i\vec{p}·(\vec{x}-\vec{x_{0}})}
\label{式(1.25)}
\end{equation}
%-------------式（1.25）------------%
\indent 当 $ |\vec{x}-\vec{x_{0}}|^{2} \gg t^{2} $时，$ U(t)\simeq e^{-m\sqrt{|\vec{x}-\vec{x_{0}}|^{2}-t^{2}}} $。此时 $ U(t) $ 十分小，但是仍然没有收敛到零，那意味着传布振幅能够具有类空间隔，违背了因果律。\\
\noindent $\bullet$ 固定粒子数(此处以单粒子为例 )的相对论性量子力学自己无法克制因果性的问题。\\
\noindent $\bullet$QFT的优势：打破固定粒子数、引入场、二次量子化、产生湮灭算符使系统拥有无限多个自在度，处理疑难。\\
\noindent $\bullet$Lorentz对称性 → 因果性 → 必需引入反粒子(Anti-Particle)。\\
\noindent $\bullet$ Dirac的“空穴”概念便是一个标致的思绪，但只适用于费米子(因为起点是Pauli不相容原理)，而玻色子也应适用。\\
\noindent $\bullet$ QFT要求：为了包管因果性，对任何场描述的粒子都必需包罗反粒子。\\
\noindent $\bullet$ SR+QM的意义深远的后果：\\
1）必需存在反粒子;\\
2）必需有自旋统计定理(Spin-Statistics Theorem)：所有自旋为 $ \hbar $ 半整数倍的粒子(Dirac场)，接纳反对易(反对称 )量子化，从命Fermi-Dirac统计；而所有自旋为 $ \hbar $整数倍的粒子(Klein-Gordon场)，接纳对易(对称 )量子化，从命Bose-Einstein统计。
\section{量子场论的降生}
Born、Heisenberg、Jordan 于1926年测验考试量子化电磁场。接纳一些近似：忽略了光子的极化，假设空间维数为1，于是电磁场能够由一维典范弦模仿。1927年Dirac量子化了（3+1）维(考虑$ \vec{A} $)场，胜利解释了原子自觉辐射。
%------------一维典范弦模子------------%
\subsection{一维典范弦模子}
为了从量点力学过渡参加论，先考虑离散的弹簧量点模子，然后取极限得到典范弦。\\
\noindent $\bullet$ 假设：有 $ N $ 个量点，每个量点的量量为 $ m $ ，而且忽略弹簧量量，只考虑刚度系数 $ k $。
假设系统初态处于平衡位置，相邻两个量点间隔为 $ l $ 如今考虑沿弹簧标的目的发作的扰动，弹簧因而发作形变。\\
\indent 考虑第$ i $个量点从平衡位置的偏移(Displacement)，记为$ \eta_{i} $。为了给出Lagrangian和Hamiltonian的表达式，现操纵上述物理量计算系统的动能和势能。\\
\indent 动能项为各个量点动能之和：
%-------------式（1.26）------------%
\begin{equation}
T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m\dot{\eta_{i}}^{2}
\label{式(1.26)}
\end{equation}
%-------------式（1.26）------------%
\indent 而势能项为各弹簧势能之和。考虑量点$ i $和量点$ i+1 $之间的单个弹簧，则：
%-------------式（1.27）------------%
\begin{equation}
V=\sum V_{i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} k(\eta_{i+1}-\eta_{i})^{2}
\label{式(1.27)}
\end{equation}
%-------------式（1.27）------------%
\indent 考虑持续极限（总的弦长$ L=Nl $固定，令$ l\rightarrow 0,N\rightarrow 0 $）:
%-------------式（1.28）------------%
\begin{equation}
T=\frac{1}{2}\frac{m}{l}\sum_{i}l(\frac{dn_{i}}{dt})^{2}\rightarrow\frac{1}{2} \mu \int_{0}^{l}dx (\dfrac{\partial \eta}{\partial x})^{2}
\label{式(1.28)}
\end{equation}
%-------------式（1.28）------------%
\indent 那里，弦的密度$ \mu=\frac{m}{l} $。
%-------------式（1.29）------------%
\begin{equation}
V=\frac{1}{2}kl(\dfrac{\eta_{i+1}-\eta_{i}}{l}))^{2}\rightarrow\frac{1}{2} \tau\int_{0}^{l}dx (\dfrac{\partial \eta}{\partial x})^{2}
\label{式(1.29)}
\end{equation}
%-------------式（1.29）------------%
\indent 那里，弦的杨氏模量$ \tau=kl $。\\
\indent 系统的Lagrangian为：
%-------------式（1.30）------------%
\begin{equation}
L=T-V=\frac{1}{2} \int_{0}^{l}dx \left[\mu(\dfrac{\partial \eta}{\partial t})^{2}-\tau(\dfrac{\partial \eta}{\partial x})^{2}\right]=\int \mathcal{L}dx
\label{式(1.30)}
\end{equation}
%-------------式（1.30）------------%
\indent 那里，拉格朗日密度$ \mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\left[\mu(\dfrac{\partial \eta}{\partial t})^{2}-\tau(\dfrac{\partial \eta}{\partial x})^{2}\right] $。\\
\indent 若是从头定义$ u(t,x)=\sqrt{\mu}\eta(t,x) $， 则：
%-------------式（1.31）------------%
\begin{equation}
L=T-V=\frac{1}{2} \int_{0}^{l}dx \left[(\dfrac{\partial u}{\partial t})^{2}-c^{2}(\dfrac{\partial u}{\partial x})^{2}\right]
\label{式(1.31)}
\end{equation}
%-------------式（1.31）------------%
\indent 此中，波速$ c=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} $。
%------------一维典范弦模子------------%
%------------坐标空间到频域的变更------------%
\subsection{坐标空间到频域的变更}
\end{document}