三角形的面积公式七叙

本文将推导出一些新的三角形面积公式，那些公式的特点是与三角形中的一些线段和对边所成的角度相联系关系，并把那些角度当成已知元素。

起首，我们来推导一下中线与对边的夹角公式。

如上中线与底边的夹角图所示，AD是BC边的中线，ϕa\phi _a是AD与BC的夹角，我们取锐角∠ADB\angle ADB，类似的能够定义别的两条中线与对边所成的夹角。

在三角形ABD中，应用正弦定理，得：sin∠BADsin∠ADB=BDAB\frac{sin \angle BAD}{sin \angle ADB} = \frac{BD}{AB}，

而sin∠BADsin∠ADB=sin(180∘−B−ϕa)sinϕa=sin(B+ϕa)sinϕa\frac{sin \angle BAD}{sin \angle ADB} = \frac{sin(180^{\circ} - B - \phi _a)}{sin \phi _a} = \frac{sin(B + \phi _a)}{sin \phi _a}，BDAB=a2c\frac{BD}{AB}= \frac{a}{2c}

即：a2c=sin(B+ϕa)sinϕa=sinBcosϕa+sinϕacosBsinϕa\frac{a}{2c} = \frac{sin(B + \phi _a)}{sin \phi _a} = \frac{sin B cos \phi _a + sin \phi _a cos B}{sin \phi _a}

于是有：tanϕa=sinBa2c−cosB=2acsinBa2−2accosBtan \phi _a = \frac{sinB}{\frac{a}{2c} - cosB} = \frac{2a csinB} {a^{2} - 2accosB}

=14S△b2−c2 = \frac{\frac{1}{4} S_\triangle } {b^2 - c^2}

（分母操纵余弦定理得到，分子操纵面积公式二）

那即是三角形中线与对边的夹角公式。

于是我们得到了下面的三角形面积公式：

公式六十三：

S△=14|b2−c2|tanϕa=14|c2−a2|tanϕb=14|a2−b2|tanϕcS_{\triangle}=\frac{1}{4}\left| b^2-c^2 \right|tan\phi_a=\frac{1}{4}\left| c^2-a^2 \right|tan\phi_b=\frac{1}{4}\left| a^2-b^2 \right|tan\phi_c

当我们取ϕa\phi _a为锐角的时候，必然有b>c，但为了严密性，我们加上了绝对值。

公式三十六的推导时，我们是为了求解ϕa\phi _a，从中刚好得出了一个三角形的面积公式，假使我们已知BC长a和中线长mam_a以及他们的锐角夹角ϕa\phi_a，又该若何求解三角形的面积呢？

其实很简单，只需要将三角形ABC分红两个小三角形，别离操纵面积公式二就能够得到了，即：

S△=S△ABD+S△ADCS_\triangle = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC}=12⋅a2⋅masinϕa+12⋅a2⋅masin(π−ϕa)= \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot m_a sin \phi _a + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot m_a sin (\pi - \phi _a)=12amasinϕa= \frac{1}{2} a m_a sin \phi _a

于是我们便有了下面的面积公式。

公式六十四：

S△=12amasinϕa=12bmbsinϕb=12cmcsinϕcS_\triangle = \frac{1}{2} a m_a sin \phi _a= \frac{1}{2} b m_b sin \phi _b= \frac{1}{2} c m_c sin \phi _c

然后，我们来推导一下角平分线与对边的夹角公式。

如上面的角平分线与对边夹角图所示，AD为角A的平分线，θa\theta _a为AD与BC的夹角，取锐角，同样的，能够定义θb\theta _b，θc\theta _c。

我们能够看到：θa=C+A2\theta _a = C+\frac{A}{2}，θa=π−B−A2\theta _a = \pi - B-\frac{A}{2}

于是sinθa=sin(C+A2)=sin(B+A2)sin\theta _a=sin(C+\frac{A}{2})=sin(B+\frac{A}{2})

于是2sinθa=sin(C+A2)+sin(B+A2)=2sinA+B+C2cosB−C2=2cosB−C22sin\theta _a=sin(C+\frac{A}{2})+sin(B+\frac{A}{2})=2sin\frac{A+B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}=2cos\frac{B-C}{2}

即sinθa=cosB−C2sin\theta _a=cos\frac{B-C}{2}。

在三角形ABD中，应用正弦定理：ABsinθa=ADsinB\frac{AB}{sin \theta _a} = \frac{AD}{sinB}，既csinθa=tasinB\frac{c}{sin \theta _a} = \frac{t_a}{sinB}

在三角形ACD中，应用正弦定理：ACsin(π−θa)=ADsinC\frac{AC}{sin (\pi - \theta _a)} = \frac{AD}{sinC}，即bsinθa=tasinC\frac{b}{sin \theta _a} = \frac{t_a}{sinC}，

而B=π−θa−A2B = \pi - \theta _a - \frac{A}{2}，C=θa−A2C = \theta _a - \frac{A}{2}

于是b=tasinθasin(θa+A2)b = \frac{ t_a sin \theta _a}{sin(\theta _a + \frac{A}{2})}，c=tasinθasin(θa−A2)c = \frac{ t_a sin \theta _a}{sin(\theta _a - \frac{A}{2})}

于是S△=12bcsinA=12tasinθasin(θa+A2)⋅tasinθasin(θa−A2)⋅sinAS_\triangle = \frac{1}{2} bc sinA = \frac{1}{2} \frac{ t_a sin \theta _a}{sin(\theta _a + \frac{A}{2})} \cdot \frac{ t_a sin \theta _a}{sin(\theta _a - \frac{A}{2})} \cdot sinA

操纵公式sin(α+β)sin(α−β)=sin2α−sin2βsin(\alpha + \beta )sin(\alpha - \beta ) = sin^{2}\alpha -sin^2 \beta ，即可以得到下面的面积公式。

公式六十五：

S△=12ta2sin2θasinAsin2θa−sin2A2=12tb2sin2θbsinBsin2θb−sin2B2=12tc2sin2θcsinCsin2θc−sin2C2S_{\triangle}=\frac{1}{2} \frac{t_a^2sin^2\theta_{a}sinA}{sin^2\theta_{a}-sin^2\frac{A}{2}}=\frac{1}{2} \frac{t_b^2sin^2\theta_{b}sinB}{sin^2\theta_{b}-sin^2\frac{B}{2}}=\frac{1}{2} \frac{t_c^2sin^2\theta_{c}sinC}{sin^2\theta_{c}-sin^2\frac{C}{2}}

能够证明上式的分母必然大于0，故不加绝对值。

在那里，我们来证明一下《三角形的面积公式六叙》中的公式五十八。

由上面推导公式六十五的过程可知：sinθa=cosB−C2sin\theta _a=cos\frac{B-C}{2}

同时csinθa−bsinθa=tasinB−tasinC=tasinB−sinCsinBsinC\frac{c}{sin \theta _a} - \frac{b}{sin \theta _a} = \frac{t_a}{sinB} - \frac{t_a}{sinC}=t_a\frac{sinB-sinC}{sinBsinC}

于是b−csinθa=b−ccosB−C2=4tacosB+C2sinB−C2cos(B−C)−cos(B+C)=4tacosB+C2sinB−C2cos(B−C)+cosA\frac{b-c}{sin\theta _a} = \frac{b-c}{cos\frac{B-C}{2}} = \frac{4t_acos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{cos(B-C)-cos(B+C)}= \frac{4t_acos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{cos(B-C)+cosA}

（和差化积）

由正弦定理即比例性量：bsinB=csinC=b−csinB−sinC=2R\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{b-c}{sinB-sinC}=2R，

即：b−c2sinB−C2cosB+C2=R\frac{b-c}{2sin\frac{B-C}{2}cos\frac{B+C}{2}}=R（和差化积）

于是有：cosA=2taRcosB−C2−cos(B−C)cosA=\frac{2t_a}{R}cos\frac{B-C}{2}-cos(B-C)

由ta=2bcb+ccosA2t_a = \frac{2bc}{b+c}cos\frac{A}{2} ，S△=abc4RS_\triangle =\frac{abc}{4R}，b+ca=cosB−C2sinA2\frac{b+c}{a} = \frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}，可得：

tacosB−C2=4RS△sinAt_acos\frac{B-C}{2} = 4RS_\triangle sinA

而sinA=1−cos2A=1−[2taRcosB−C2−cos(B−C)]2sinA=\sqrt{1-cos^2A} = \sqrt{1-[\frac{2t_a}{R}cos\frac{B-C}{2}-cos(B-C)]^2}

于是：tacosB−C2=4RS△1−[2taRcosB−C2−cos(B−C)]2t_acos\frac{B-C}{2} = 4RS_\triangle \sqrt{1-[\frac{2t_a}{R}cos\frac{B-C}{2}-cos(B-C)]^2}

证毕。

与公式六十四类似，关于角平分线也有一组公式：

公式六十六：

S△=12atasinθa=12btbsinθb=12ctcsinθcS_\triangle = \frac{1}{2} a t_a sin \theta _{a}= \frac{1}{2} b t_b sin \theta _{b}= \frac{1}{2} c t_c sin \theta _{c}

证明：由A做底边BC的垂线，即hah_a，于是ha=tasinθah_a = t_a sin \theta_a，然后由面积公式等于底乘以高的一半，即可得到上面的公式六十六。

由公式六十四和公式六十六来看，如许求解面积的办法能够推广到肆意三角形内的线段，我们操纵《三角形中的线段》一文中的线段长公式，并定义线段与对边的夹角为φa\varphi _a，即可以得到一组公式：

公式六十七：

S△=asinφa21λ+μ(λc2+μb2−λμλ+μa2)S_\triangle = \frac{a sin\varphi _a}{2} \sqrt{\frac{1}{\lambda + \mu }(\lambda c^{2} +\mu b^{2} - \frac{\lambda \mu }{\lambda +\mu }a^{2})}

轮换a，b，c，A，B，C，即可得到别的两个式子。

总结：公式六十六那个求解面积的公式现实上就是底乘高的一半，只不外换成了两条线段的长度的乘积与其夹角正弦乘积的一半，因为两个三角形能够拼成一个四边形，所以那个公式同样适用于四边形，即两条对角线乘积与其夹角正弦乘积的一半，那在后面的文章里，说到四边形的面积时，我们还会详细讨论。