三角形面积坐标公式

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操纵向量叉积计算面积，能够将坐标暗示的向量快速与面积挂钩，较为便利。那里面向高考做一些简单的拓展。

向量部门，我仅从维基百科上做了一些粗浅的领会，仅供参考，准确性存疑。

外积(Outer product)和叉积(Cross product)似乎是有区此外，但维基百科叉积页面上大部门利用外积，那里我不做区分了。

前置向量布景

只要求会用的话，能够不消领会。

a×b=‖a‖‖b‖sin⁡(θ)n\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\ \mathbf {n}\

向量叉积得到的是一个垂曲于a\mathbf{a}\、b\mathbf{b}\

向量所在平面的向量。

此中θ\theta\暗示a\mathbf{a}\与b\mathbf{b}\在它们所定义平面上的夹角，θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi]\

.

​n\mathbf{n}\代表一个与平面垂曲的法向量，标的目的由右手定章决定，那里不会用到。

有一些根底的性量：

若a\mathbf{a}\与b\mathbf{b}\共线，则a×b=0\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}\. 由此能够得到：a×a=0\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}\.

向量叉积不满足交换律，而满足反交换律：a×b=−(b×a)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})\，也就是说它们的成果向量标的目的相反。那个能够由右手定章确定。

外积能够写成如许的行列式：

u×v=|ijku1u2u3v1v2v3|\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}\

平面 过原点的三角形面积公式

那是最简单的情况。

A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\，有：SΔOAB=12|x1y2−x2y1|S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\

那个在高中阶段能够如许证明：

设OA:y1x−x1y=0OA: y_1x - x_1y = 0\，d(B,OA)=|x2y1−x1y2|x12+y12d(B,OA) = \dfrac{|x_2y_1 - x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}\底乘高有：SΔOAB=12×|x1y2−x2y1|x12+y12×x12+y12S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} \times \sqrt{x_1^2+y_1^2}\，证毕。

从向量角度理解，OA→=x1i+y1j\overrightarrow{OA} = x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j}\，OB→=x2i+y2j\overrightarrow{OB} = x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j}\，OA→×OB→=x1x2(i×i)+x1y2(i×j)+y1x2(j×i)+y1y2(j×j)\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = x_1x_2(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + x_1y_2(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + y_1x_2(\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + y_1y_2(\mathbf{j} \times \mathbf{j})\考虑到i×i=0\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{0}\，i×j=−(j×i)\mathbf{i} \times \mathbf{j} = -(\mathbf{j} \times \mathbf{i})\，最末有：OA→×OB→=(x1y2−y1x2)(i×j)\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (x_1y_2 - y_1x_2)(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) \考虑到‖i×j‖=1\|\mathbf{i} \times \mathbf{j}\| = 1\，则‖OA→×OB→‖=x1y2−y1x2\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \| = x_1y_2 - y_1x_2\，也就是‖OA→‖×‖OB→‖×sin⁡θ=x1y2−y1x2\|\overrightarrow{OA}\| \times \|\overrightarrow{OB} \| \times \sin \theta = x_1y_2 - y_1x_2\，即得三角形面积了。

肆意点三角形面积公式

有了上面的式子之后，一个曲不雅的设法是：将某点平移为原点，然后一切照旧。那个思绪是不错的。

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\，平移后有A(0,0),B(x2−x1,y2−y1),C(x3−x1,y3−y1)A(0,0),B(x_2-x_1,y_2-y_1),C(x_3-x_1,y_3-y_1)\，则有：

SΔABC=12|(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)|=12|x1y2+x2y3+x3y1−x2y1−x3y2−x1y3|S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)| = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3|\

还有一种思绪是割补为OABOAB\，OACOAC\，OBCOBC\三个三角形面积来别离计算。

若是间接暴力证明的话，也能够模拟平移的操做，写出AB:(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0AB: (y_2-y_1)(x-x_1) - (x_2-x_1)(y-y_1) = 0\，然后跟过原点的情况是一样的证法。

用向量叉积的话，间接写出向量就能够了，和平移到原点也差不多。

那个看起来其实不好记，能够写成：

SΔABC=|12|111x1x2x3y1y2y3||S_{\Delta ABC} = \left | \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &1 &1 \\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\end{vmatrix}\right |\

操纵对角线求值，顺着和反着各来一遍，顺着加、反着减就能够了。能够对照着式子手玩一遍：

|12|111x1x2x3y1y2y3||=12|x1y2+x2y3+x3y1−x2y1−x3y2−x1y3|\left | \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &1 &1 \\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\end{vmatrix}\right |= \dfrac{1}{2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3|\

平行四边形面积公式

关于平行四边形ABCDABCD\，其面积为SΔABDS_{\Delta ABD}\的二倍，因而只需要晓得邻边向量，就能响应计算出头具名积。

设AB→=(x1,y1)\overrightarrow{AB} = (x_1,y_1)\，AD→=(x2,y2)\overrightarrow{AD} = (x_2,y_2)\，有：SABCD=|x1y2−x2y1|S_{ABCD} = |x_1y_2 - x_2y_1|\

晓得对角线也能够，AC→=(x1,y1)\overrightarrow{AC} = (x_1,y_1)\，BD→=(x2,y2)\overrightarrow{BD} = (x_2,y_2)\，有：SABCD=12|x1y2−x2y1|S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\那里能够通过平移对角线到统一点上，获得一个与平行四边形面积相等的三角形，从而套用三角形面积公式。

抛物线内接三角形面积坐标公式

抛物线y2=2pxy^2 = 2px\上三点A(2pa2,2pa)A(2pa^2,2pa)\，B(2pb2,2pb)B(2pb^2,2pb)\，C(2pc2,2pc)C(2pc^2,2pc)\，则：

SΔABC=2p2⋅|(a−b)(b−c)(c−a)|S_{\Delta ABC} = 2p^2 \cdot |(a-b)(b-c)(c-a)|\

拿三角形面积公式化简即可得到。

椭圆内接三角形面积坐标公式

椭圆x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\上三点A(acos⁡α,bsin⁡α)A(a\cos \alpha,b\sin \alpha)\，B(acos⁡β,bsin⁡β)B(a\cos \beta,b\sin \beta)\，C(acos⁡γ,bsin⁡γ)C(a\cos \gamma,b\sin \gamma)\，那里操纵了参数方程 来表达椭圆。

SΔABC=2ab|sin⁡(α−β2)sin⁡(β−γ2)sin⁡(γ−α2)|S_{\Delta ABC} = 2ab|\sin(\dfrac{\alpha - \beta}{2})\sin(\dfrac{\beta - \gamma}{2})\sin(\dfrac{\gamma - \alpha}{2})|\

双曲线内接三角形面积坐标公式

双曲线x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\上三点A(acos⁡α,btan⁡α)A(\dfrac{a}{\cos \alpha},b\tan \alpha)\，B(acos⁡β,btan⁡β)B(\dfrac{a}{\cos \beta},b\tan \beta)\，C(acos⁡γ,btan⁡γ)C(\dfrac{a}{\cos \gamma},b\tan \gamma)\

SΔABC=2ab|sin⁡(α−β2)sin⁡(β−γ2)sin⁡(γ−α2)cos⁡αcos⁡βcos⁡γ|S_{\Delta ABC} = 2ab|\dfrac{\sin(\dfrac{\alpha - \beta}{2})\sin(\dfrac{\beta - \gamma}{2})\sin(\dfrac{\gamma - \alpha}{2})}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}|\

三维

高考大要必定不会涉及到的。若是涉及到，那么算出三边、当成平面三角形处置，操纵余弦定理之类的计算是比力一般的做法。

A(x1,y1,z1)A(x_1,y_1,z_1)\，B(x2,y2,z2)B(x_2,y_2,z_2)\，C(x3,y3,z3)C(x_3,y_3,z_3)\，有：

SΔABC=12|AB→×AC→|=|12|ijkx1x2x3y1y2y3||S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \left | \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}\mathbf{i} &\mathbf{j} &\mathbf{k} \\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\end{vmatrix}\right |\

弥补

还有一个比力有趣的式子：

|a|×|b|×sin⁡θ=|a|2+|b|2−(a⋅b)2|\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \times \sin \theta = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}\，操纵那个也能够计算三角形面积。

例题 1 通俗三角形题

已知A(3,0)A(3,0)\，B(1,2)B(1,2)\，C(4,3)C(4,3)\，则ΔABC\Delta ABC\面积为？设点PP\在ΔABC\Delta ABC\内，且SΔPAB:SΔPAC:SΔPBC=2:1:1S_{\Delta PAB}:S_{\Delta PAC}:S_{\Delta PBC} = 2:1:1\，求PP\坐标。

第一问间接套用即可，AB→=(−2,2)\overrightarrow{AB} = (-2,2)\，AC→=(1,3)\overrightarrow{AC} = (1,3)\，S=12|−6−2|=4S = \dfrac{1}{2}|-6-2| = 4\

第二问则是一个几何标题问题，但那里能够选择用奔跑定理间接写出：

2×PC→+PA→+PB→=02 \times \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 0\

设P(x,y)P(x,y)\，则：

(2x−8,2y−6)=(4−2x,2−2y)(2x-8,2y-6) = (4-2x,2-2y)\

解得x=3,y=2x=3,y=2\，P(3,2)P(3,2)\

2 困难抛物线面积小题

抛物线y2=4xy^2=4x\内接ΔABC\Delta ABC\重心刚好为抛物线焦点，求ΔABC\Delta ABC\面积更大值。

设A(4a2,4a),B(4b2,4b),C(4c2,4c)A(4a^2,4a),B(4b^2,4b),C(4c^2,4c)\，由重心性量有：

a+b+c=04(a2+b2+c2)3=1\begin{aligned}& a+b+c=0\\ &\dfrac{4(a^2+b^2+c^2)}{3} = 1\end{aligned}\

套用 抛物线内接三角形面积坐标公式 有：

SΔABC=8|(a−b)(b−c)(c−a)|S_{\Delta ABC} = 8|(a-b)(b-c)(c-a)|\

那个式子处置起来仍是挺痛苦的，能够考虑暴力消元。

c=−(a+b),c2=34−(a2+b2)=34−c2+2ab⟹c2−38=abc = -(a+b),c^2 = \dfrac{3}{4} - (a^2+b^2) = \dfrac{3}{4} - c^2 +2ab \implies c^2 - \dfrac{3}{8} = ab\，则|a−b|=|a2+b2−2ab|=|34−c2−2c2+34|=|32−3c2||a-b| = \sqrt{|a^2+b^2-2ab|} = \sqrt{ |\dfrac{3}{4} -c^2 - 2c^2 +\dfrac{3}{4}|} = \sqrt{|\dfrac{3}{2} - 3c^2|}\

还剩下(b−c)(c−a)=bc+ac−ab−c2=(a+b)c−c2−ab=−2c2−c2+38=38−3c2(b-c)(c-a) = bc +ac - ab - c^2 = (a+b)c -c^2 - ab = -2c^2 - c^2 + \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}-3c^2\

整理出来，有：

SΔABC=|32−12c2||6−12c2|S_{\Delta ABC} = |\dfrac{3}{2}-12c^2|\sqrt{|6 - 12c^2|}\

绝对值难以处置，考虑到必然有一个点在焦点左侧，无妨令其为CC\点，则