那是第十二届数学组B类试卷的第一题，其难度高于A卷第一题（节约时间， AA 卷不写）
解：起首需要构建出柱面方程
设 P(x0,y0,z0)∈∑0P(x_0,y_0,z_0)\in\sum_{}^{}{_0} ，柱面母线方程为 l(t)=(x0,y0,z0)+(0,εa2−b2,c)tl(t)=(x_0,y_0,z_0)+(0,\varepsilon \sqrt{a^2-b^2},c)t\\
因为柱面与椭圆相切，所以有 x02a2+(y0+ε(a2−b2)t)2b2+(z0+ct)2c2=1\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{(y_0+\varepsilon(\sqrt{a^2-b^2})t)^2}{b^2}+\frac{(z_0+ct)^2}{c^2}=1\\
化简得到 (ε2(a2−b2)b2+1)t2+2(εa2−b2b2y0+1cz0)t=0(\frac{\varepsilon^2(a^2-b^2)}{b^2}+1)t^2+2(\frac{\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}y_0+\frac{1}{c}z_0)t=0\\
留意到 (ε2(a2−b2)b2+1)=a2b2≠0(\frac{\varepsilon^2(a^2-b^2)}{b^2}+1)=\frac{a^2}{b^2}\ne0\\
而t仅有一解0，等价于 εa2−b2b2y0+1cz0=0\frac{\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}y_0+\frac{1}{c}z_0=0\\ 该方程即为过所有切点的平面
于是得到柱面的一条准线为 εa2−b2b2y+1cz=0x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}y+\frac{1}{c}z=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\
将母线方程带入准线方程消去参数 tt 得柱面方程为
x2a2+b2(cy−εa2−b2z)2a4c2+(a2−b2)(cy−εa2−b2z)2a4c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2(cy-\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}z)^2}{a^4c^2}+\frac{(a^2-b^2)(cy-\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}z)^2}{a^4c^2}=1\\
令 z=0z=0 既得 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2\\
于是可交出圆周的一平面为 z=0z=0 ,法标的目的为 (0,0,1)(0,0,1) .
事实上该题能够由第八届数学竞赛的解析几何得到思绪
设 ss 是一个空间中的一个椭球面，设标的目的为常向量 VV 的一束平行光照射 ss ,此中部门光线与 ss 相切，它们的切点在 ss 上构成一条曲线 Γ\Gamma .证明： Γ\Gamma 落在一张过椭圆圆心的平面。（证明思绪与上题前部门证明一致）
关于空间曲面的某些结论事实上能够按照在高中所学的圆锥曲线里的结论推广而来，例如点到平面的间隔，曲面外一点引曲面切线其切点落在的平面等。
证明曲面 F(xl−ym,ym−zn,zn−xl)=0F(\frac{x}{l}-\frac{y}{m},\frac{y}{m}-\frac{z}{n},\frac{z}{n}-\frac{x}{l})=0\\
是一个柱面，它的母线标的目的为 (l,m,n).(l,m,n). （题源：《解析几何》第四版 吕林根 许子道）
第十一届 AA 卷：
其实是高中很常见的一道题转化而来，难度不大。
第十一届 BB 卷：设 L1L_1 和 L2L_2 是空间中的两条不垂曲的异面曲线，点 BB 是公垂线的中点。点 A1,A2A_1,A_2 别离在 L1,L2L_1,L_2 上滑动，使得 A1BA_1B 垂曲 A2BA_2B .证明曲线 A1A2A_1A_2 的轨迹是单叶双曲面。
总的说来第十一届的两道解析几何难度都不大，细心的话那15分仍是较容易拿到的。
第十届：在空间曲角坐标系中，设马鞍面 SS 的方程为 x2−y2=2zx^2-y^2=2z ，设 σ\sigma 为平面 z=αx+βy+γz=\alpha x+\beta y+\gamma ,此中 ，，α，β，γ\alpha，\beta，\gamma 为确定的常数，求马鞍面 SS 上点 PP 的坐标，使得过 PP 落在 SS 上的曲线均平行于平面。
解：设曲线方程为 此中l(t)=(x0,y0,z0)+(a,b,c)t,此中x02−y02=2z0l(t)=(x_0,y_0,z_0)+(a,b,c)t,此中x_0^2-y_0^2=2z_0\\ 曲线在马鞍面上，从而有 (x0+at)2−(y0+bt)2=2(z0+ct)(x_0+at)^2-(y_0+bt)^2=2(z_0+ct)\\ 化简得 2ax0t+a2t2−2by0t−b2t2=2ct,∀t∈R2ax_0t+a^2t^2-2by_0t-b^2t^2=2ct,\forall t\in R\\ 所以 a2=b2,ax0−by0=ca^2=b^2,ax_0-by_0=c\\ 而且有 (a,b,c)(α,β,−1)=0⇒aα+bβ−c=0(a,b,c)(\alpha,\beta,-1)=0\Rightarrow a\alpha+b\beta-c=0\\ 于是 a(x0±y0)=c,a(α∓β)=c⇒x0=α,y0=−β⇒z0=α2−β22a(x_0\pm y_0)=c,a(\alpha\mp\beta)=c\Rightarrow x_0=\alpha,y_0=-\beta\Rightarrow z_0=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\\ 所以 P(α,−β,α2−β22)P(\alpha,-\beta,\frac{\alpha^2-\beta^2}{2})
雾之境