为什么刚体对必然轴的动弹惯量为常量？

怎么会引入惯量那个物理量呢?

实理: 总能够把刚体的运动合成为随基点的平动和刚体以角速度 ω→\[\vec{\omega }\] 绕基点做的定点动弹.

所以我们只需别离研究刚体的平动与动弹.

怎么计算刚体动弹的动能呢?

下面位矢的原点为基点.

刚体量元的速度是 v→=ω→×r→\[\vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}\] , 量量是 dm\[\text{d}m\] , 动能天然是 12(ω→×r→)2dm.\[\frac{1}{2}{{\left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)}^{2}}\text{d}m.\]

所以刚体的动弹动能很显然是:

T=12∫(ω→×r→)2dm=12ω2∫r2sin2θdm=12ω2∫ρ2dm=12Iω2.\[T=\frac{1}{2}\int{{{\left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)}^{2}}\text{d}m}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta dm}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\int{{{\rho }^{2}}dm}=\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}.\]

上面的积分区域是整个刚体.

定义式 ρ=rsin⁡θ\[\rho =r\sin \theta \] 中的 r,ρ\[r,\rho\] 别离为 dm\[\text{d}m\]

到基点与到转轴的间隔.

那个结论能够类比线量[1]中的 T=12mv2.\[T=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}.\]

此中 I=∫r2sin2θdm\[I=\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \text{d}m}\] 被定义为刚体关于 ω→\[{\vec{\omega }}\] 感化线[2]的动弹惯量.

若是是定轴动弹, 也就是说 ω→\[{\vec{\omega }}\] 只改动大小而不改动标的目的的话, 那么 I=∫r2sin2θdm\[I=\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \text{d}m}\] 将显然是个常量, 那也就是说以后计算刚体动弹动能时完全能够先算出那么一个常量 I\[I\] , 然后再很无脑地套公式 T=12Iω2\[T=\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}\] 就能够间接得到动能了.

如许定义的动弹惯量是常量, 所以我们要引入动弹惯量.

问题已经处理了

若是还对惯量张量, 惯量椭球感兴趣;

或者想更深入天文解动弹惯量;

或者想欠亨为什么J→\[{\vec{J}}\] 和 ω→\[{\vec{\omega }}\] 明明不共线通俗物理中还有 J→=Iω→\[\vec{J}=I\vec{\omega }\] 那个公式的.

能够考虑继续往下看点儿额外的弥补内容.

亘古实理: 刚体对固定点有一个惯量张量, 刚体对固定轴有一个动弹惯量.

两个重要结论

✦无论做何运动的刚体上肆意基点到另一个点的位矢的角速度都是统一个值.

当然那个位矢不要跟角速度标的目的平行了, 意思就是说刚体某一时刻的角速度与参考点无关.

✦总能够把刚体的运动合成为随基点的平动和刚体以角速度 ω→\[\vec{\omega }\] 绕着基点做定点动弹.

所以我们会去研究刚体的平动与刚体的动弹. 如今研究那个以角速度 ω→\[\vec{\omega }\] 绕着基点做的定点动弹

刚体对基点的角动量为:

J→=∑ir→i×miv→i=∑imir→i×(ω→×r→i)=∑imi[ri2ω→−(r→i⋅ω→)r→i].\[\vec{J}\text{=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{r}}}_{i}}\times \left( \vec{\omega }\times {{{\vec{r}}}_{i}} \right)}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\left[ r_{i}^{2}\vec{\omega }-\left( {{{\vec{r}}}_{i}}\cdot \vec{\omega } \right){{{\vec{r}}}_{i}} \right]}.\]

上式也申明了 J→\[{\vec{J}}\] 与 ω→\[{\vec{\omega }}\] 没必要要共线.

量量是持续散布的, 所以改写为:

J→=∫r→×v→dm=∫r→×(ω→×r→)dm=∫[r2ω→−(r→⋅ω→)r→]dm.\[\vec{J}=\int{\vec{r}\times \vec{v}\text{d}m}=\int{\vec{r}\times \left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)\text{d}m}=\int{\left[ {{r}^{2}}\vec{\omega }-\left( \vec{r}\cdot \vec{\omega } \right)\vec{r} \right]\text{d}m}.\]

上式与下面所有积分的积分区域都是整个物体.

先在刚体上固定一个笛卡尔坐标系, 原点为基点, 然后重量式如下:

{Jx=ωx∫(y2+z2)dm−ωy∫xydm−ωz∫xzdm,Jy=−ωx∫yxdm+ωy∫(x2+z2)dm−ωz∫yzdm,Jz=−ωz∫zxdm−ωy∫zydm+ωz∫(x2+y2)dm.\[\left\{ \begin{align} & {{J}_{x}}={{\omega }_{x}}\int{\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\text{d}m}-{{\omega }_{y}}\int{xy\text{d}m}-{{\omega }_{z}}\int{xz\text{d}m}, \\ & {{J}_{y}}=-{{\omega }_{x}}\int{yx\text{d}m}+{{\omega }_{y}}\int{\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\text{d}m}-{{\omega }_{z}}\int{yz\text{d}m}, \\ & {{J}_{z}}=-{{\omega }_{z}}\int{zx\text{d}m}-{{\omega }_{y}}\int{zy\text{d}m}+{{\omega }_{z}}\int{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\text{d}m}. \\ \end{align} \right.\]

能够更简洁的表达为: J→=I↔⋅ω→.\[\vec{J}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {I}\cdot \vec{\omega }.\]

留意上式 I↔\[\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {I}\] 是个张量, 称做惯量张量.

展开来看便是 [JxJyJz]=[Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz][ωxωyωz].\[\left[ \begin{matrix} {{J}_{x}} \\ {{J}_{y}} \\ {{J}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{I}_{xx}} & -{{I}_{xy}} & -{{I}_{xz}} \\ -{{I}_{yx}} & {{I}_{yy}} & -{{I}_{yz}} \\ -{{I}_{zx}} & -{{I}_{zy}} & {{I}_{zz}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{\omega }_{x}} \\ {{\omega }_{y}} \\ {{\omega }_{z}} \\ \end{matrix} \right].\]

此中 {Ixy=Iyx=∫xydm,Ixz=Izx=∫xzdm,Iyz=Izy=∫yzdm.\[\left\{ \begin{align} & {{I}_{xy}}={{I}_{yx}}=\int{xy\text{d}m}, \\ & {{I}_{xz}}={{I}_{zx}}=\int{xz\text{d}m}, \\ & {{I}_{yz}}={{I}_{zy}}=\int{yz\text{d}m}. \\ \end{align} \right.\] {Ixx=∫(y2+z2)dm,Iyy=∫(x2+z2)dm,Izz=∫(x2+y2)dm.\[\left\{ \begin{align} & {{I}_{xx}}=\int{\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\text{d}m,} \\ & {{I}_{yy}}=\int{\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\text{d}m}, \\ & {{I}_{zz}}=\int{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\text{d}m}. \\ \end{align} \right.\]

惯量张量I↔\[\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {I}\] 的对角元素称做对坐标轴动弹惯量, 非对角元称做惯量积. 二者统称惯量系数.

刚体的动弹动能:下面的式子能够类比线量的 T=12p→⋅v→\[T=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot \vec{v}\] 及 T=12mv2.\[T=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}.\]

T=∫v22dm=12∫v→⋅(ω→×r→)dm=12ω→⋅∫r→×v→dm=12J→⋅ω→.\[T=\int{\frac{{{v}^{2}}}{2}\text{d}m}=\frac{1}{2}\int{\vec{v}\cdot \left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)\text{d}m}=\frac{1}{2}\vec{\omega }\cdot \int{\vec{r}\times \vec{v}\text{d}m}=\frac{1}{2}\vec{J}\cdot \vec{\omega }.\]

T=12∫(ω→×r→)2dm=12ω2∫r2sin2θdm=12ω2∫ρ2dm=12Iω2.\[T=\frac{1}{2}\int{{{\left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)}^{2}}\text{d}m}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \text{d}m}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\int{{{\rho }^{2}}\text{d}m}=\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}.\]

第一式中展开 J→\[{\vec{J}}\] 得到: T=12[Ixxωx2+Iyyωy2+Izzωz2−2Ixyωxωy−2Ixzωxωz−2Iyzωyωz].\[T=\frac{1}{2}\left[ {{I}_{xx}}\omega _{x}^{2}+{{I}_{yy}}\omega _{y}^{2}+{{I}_{zz}}\omega _{z}^{2}-2{{I}_{xy}}{{\omega }_{x}}{{\omega }_{y}}-2{{I}_{xz}}{{\omega }_{x}}{{\omega }_{z}}-2{{I}_{yz}}{{\omega }_{y}}{{\omega }_{z}} \right].\]第二式中 I=∫r2sin2θdm\[I=\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta dm}\] 显然是对 ω→\[{\vec{\omega }}\] 感化线[3]

的动弹惯量.

关于定轴动弹惯量下面将给出定义.对固定轴的动弹惯量:

定义: I=∫r2sin2θdm=∫ρ2dm.\[I=\int{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \text{d}m}=\int{{{\rho }^{2}}\text{d}m}.\]

此中的 r,ρ\[r,\rho\] 别离为 dm\[\text{d}m\] 到基点与到转轴的间隔.

回转半径:

动弹惯量能够等效于量量集中在间隔转轴为 RR 的一点上的动弹惯量.

即令 I=R2m\[I={{R}^{2}}m\] 则满足式子的 R\[R\] 就要被称做回转半径.

平行轴定理:

I=Ic+md2\[I={{I}_{c}}+m{{d}^{2}}\] 此中 Ic\[{{I}_{c}}\] 的轴过量心, I,Ic\[I,{{I}_{c}}\] 轴彼此平行, d\[d\] 为两轴间距.

简证:

随手画的示企图

I=∫ρ2dm=∫(ρ→′+d→)2dm=∫(ρ→′2+d→2+2ρ→c⋅d→)dm=Ic+md2+2d→⋅∫ρ→′dm=Ic+md2.\[\begin{align} & I=\int{{{\rho }^{2}}\text{d}m}=\int{{{\left( {\vec{\rho }}+\vec{d} \right)}^{2}}\text{d}m} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int{\left( {{{{\vec{\rho }}}}^{2}}+{{{\vec{d}}}^{2}}+2{{{\vec{\rho }}}_{c}}\cdot \vec{d} \right)\text{d}m} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{I}_{c}}+m{{d}^{2}}+2\vec{d}\cdot \int{{\vec{\rho }}\text{d}m}={{I}_{c}}+m{{d}^{2}}. \\ \end{align}\]

顺带一提∫ρ→′dm=∫(ω→×r→′)×e→ωdm=(ω→×∫r→′dm)×e→ω=0.\[\int{{\vec{\rho }}\text{d}m}=\int{\left( \vec{\omega }\times {\vec{r}} \right)\times {{{\vec{e}}}_{\omega }}\text{d}m}=\left( \vec{\omega }\times \int{{\vec{r}}dm} \right)\times {{\vec{e}}_{\omega }}=0.\]

想欠亨就

∫ρ→′dm=e→x∫ρ′xdm+e→y∫ρ′ydm=e→x∫r′xdm+e→y∫r′ydm=0.\[\int{{\vec{\rho }}\text{d}m}={{\vec{e}}_{x}}\int{{{{{\rho }}}_{x}}\text{d}m}+{{\vec{e}}_{y}}\int{{{{{\rho }}}_{y}}\text{d}m}={{\vec{e}}_{x}}\int{{{{{r}}}_{x}}\text{d}m}+{{\vec{e}}_{y}}\int{{{{{r}}}_{y}}\text{d}m}=0.\]

请在心里成立笛卡尔坐标系, zz 轴是转轴标的目的.惯量椭球与惯量主轴:

先成立笛卡尔坐标系, 和前面一样也是固定在刚体上随刚体动弹, 且原点为基点.

假设成立的是静行的坐标系那么惯量张量中的每一个惯量系数都随时间改动, 难以研究.

重量式:

ω→=∑iωxie→i=(ωcos⁡α,ωcos⁡β,ωcos⁡γ).\[\vec{\omega }\text{=}\sum\limits_{i}{{{\omega }_{{{x}_{i}}}}{{{\vec{e}}}_{i}}}=\left( \omega \cos \alpha ,\omega \cos \beta ,\omega \cos \gamma \right).\]

此中 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\[\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \] 别离是三个标的目的余弦.

由关系 T=12J→⋅ω→=12Iω2\[T=\frac{1}{2}\vec{J}\cdot \vec{\omega }=\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}\] 能够得到:

Ixxωx2+Iyyωy2+Izzωz2−2Ixyωxωy−2Ixzωxωz−2Iyzωyωz=Iω2.\[{{I}_{xx}}\omega _{x}^{2}+{{I}_{yy}}\omega _{y}^{2}+{{I}_{zz}}\omega _{z}^{2}-2{{I}_{xy}}{{\omega }_{x}}{{\omega }_{y}}-2{{I}_{xz}}{{\omega }_{x}}{{\omega }_{z}}-2{{I}_{yz}}{{\omega }_{y}}{{\omega }_{z}}=I{{\omega }^{2}}.\]

化简得到:

I=Ixxcos2α+Iyycos2β+Izzcos2γ−2Ixycos⁡αcos⁡β−2Ixzcos⁡αcos⁡γ−2Iyzcos⁡βcos⁡γ\[\begin{align} & I={{I}_{xx}}{{\cos }^{2}}\alpha +{{I}_{yy}}{{\cos }^{2}}\beta +{{I}_{zz}}{{\cos }^{2}}\gamma \\ & \ \ \ -2{{I}_{xy}}\cos \alpha \cos \beta -2{{I}_{xz}}\cos \alpha \cos \gamma -2{{I}_{yz}}\cos \beta \cos \gamma \\ \end{align}\] ----[i]

能够简写为: I=e→ω⋅I↔⋅e→ω.\[I={{\vec{e}}_{\omega }}\cdot \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {I}\cdot {{\vec{e}}_{\omega }}.\]

那也解释了最最起头说的 "刚体对固定点有一个惯量张量, 刚体对固定轴有一个动弹惯量."

展开来写就是: I=[cos⁡α,cosβ,cosγ][Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz][cos⁡αcos⁡βcos⁡γ]\[I=\left[ \cos \alpha ,cos\beta ,cos\gamma \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{xx}} & -{{I}_{xy}} & -{{I}_{xz}} \\ -{{I}_{yx}} & {{I}_{yy}} & -{{I}_{yz}} \\ -{{I}_{zx}} & -{{I}_{zy}} & {{I}_{zz}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \\ \end{matrix} \right]\]

如今我们在(肆意)转轴标的目的上做一矢量 R→=(x,y,z)\[\vec{R}=\left( x,y,z \right)\] , 且令 R=1I.\[R=\frac{1}{\sqrt{I}}.\]

则显然有 x=Rcos⁡α,y=Rcos⁡β,z=Rcos⁡γ.\[x=R\cos \alpha \ ,\ y=R\cos \beta \ ,\ z=R\cos \gamma .\]

此中 II 为此转轴对应的动弹惯量, 将上面的三个关系带入惯量方程 [i] 得到:

I=Ixxx2R2+Iyyy2R2+Izzz2R2−2IxyxyR2−2IxzxzR2−2IyzyzR2.\[I={{I}_{xx}}\frac{{{x}^{2}}}{{{R}^{2}}}+{{I}_{yy}}\frac{{{y}^{2}}}{{{R}^{2}}}+{{I}_{zz}}\frac{{{z}^{2}}}{{{R}^{2}}}-2{{I}_{xy}}\frac{xy}{{{R}^{2}}}-2{{I}_{xz}}\frac{xz}{{{R}^{2}}}-2{{I}_{yz}}\frac{yz}{{{R}^{2}}}.\]

由 IR2=1\[I{{R}^{2}}=1\] 可得:

Ixxx2+Iyyy2+Izzz2−2Ixyxy−2Ixzxz−2Iyzyz=1.\[{{I}_{xx}}{{x}^{2}}+{{I}_{yy}}{{y}^{2}}+{{I}_{zz}}{{z}^{2}}-2{{I}_{xy}}xy-2{{I}_{xz}}xz-2{{I}_{yz}}yz=1.\]

很巧妙对吧? 那是一个椭球方程, 也就是说所有标的目的的 R→\[{\vec{R}}\] 的端点构成了一个椭球.

算出惯量系数然后做出那个椭球就能够由关系式 I=1R2\[I=\frac{1}{{{R}^{2}}}\] 求得沿肆意标的目的的对轴动弹惯量.

那就是惯量椭球, 很酷对吧?

但那其实仍是很弱, 现实上不难想到一个巧妙地偷懒手段: 假设我把那个椭球摆正了, 岂不是就能够消去惯量积[4]了? 就是说, 我们只要将坐标系摆在那个椭球的三个主轴上面, 就能够消掉惯量张量的非对角项了.

上述的椭球三个主轴被称做惯量主轴.

用那三个轴成立坐标系可得惯量张量: I↔=[Ixx000Iyy000Izz].\[\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {I}=\left[ \begin{matrix} {{I}_{xx}} & 0 & 0 \\ 0 & {{I}_{yy}} & 0 \\ 0 & 0 & {{I}_{zz}} \\ \end{matrix} \right].\]

此时的表达式 {I=Ixxcos2α+Iyycos2β+Izzcos2γ,J→=Ixxωxe→x+Iyyωye→y+Izzωze→z,T=12(Ixxωx2+Iyyωy2+Izzωz2).\[\left\{ \begin{align} & I={{I}_{xx}}{{\cos }^{2}}\alpha +{{I}_{yy}}{{\cos }^{2}}\beta +{{I}_{zz}}{{\cos }^{2}}\gamma , \\ & \vec{J}={{I}_{xx}}{{\omega }_{x}}{{{\vec{e}}}_{x}}+{{I}_{yy}}{{\omega }_{y}}{{{\vec{e}}}_{y}}+{{I}_{zz}}{{\omega }_{z}}{{{\vec{e}}}_{z}}, \\ & T=\frac{1}{2}\left( {{I}_{xx}}\omega _{x}^{2}+{{I}_{yy}}\omega _{y}^{2}+{{I}_{zz}}\omega _{z}^{2} \right). \\ \end{align} \right.\]

至于若何寻找惯量主轴:

主 不雅 臆 测, 请.

觉得很对称根本上就没问题了.

好比关于 Ixy=∫xydm\[{{I}_{xy}}=\int{xy\text{d}m}\] , 那就只要让物体关于 xoy\[xoy\]

面临称那项就没了.

别的俩同理.最初总结一下动弹惯量的求法:

i. 强行暴力计算: I=∫ρ2dm\[I=\int{{{\rho }^{2}}\text{d}m}\] 此中 ρ\[\rho \] 为 dm\[\text{d}m\] 到转轴的间隔.

ii. 操纵平行轴定理: I=Ic+md2\[I={{I}_{c}}+m{{d}^{2}}\] 此中 Ic\[{{I}_{c}}\] 的轴过量心, I,Ic\[I,{{I}_{c}}\] 轴彼此平行, d\[d\] 为两轴间距.

iii. 仅仅薄片可用的垂曲轴定理: Iz=Ix+Iy\[{{I}_{z}}={{I}_{x}}+{{I}_{y}}\] , 此中 zz 轴垂曲于薄片. 那很显然不予以证明.

iv. 找到惯量主轴用公式计算: I=Ixxcos2α+Iyycos2β+Izzcos2γ.\[I={{I}_{xx}}{{\cos }^{2}}\alpha +{{I}_{yy}}{{\cos }^{2}}\beta +{{I}_{zz}}{{\cos }^{2}}\gamma .\]

通俗物理里面的动弹惯量怎么不是张量? 怎么仿佛也有 J→=Iω→\[\vec{J}=I\vec{\omega }\] ？

起首,通俗物理里面的刚体动弹根本只涉及了定轴动弹,

那时候有确定的动弹惯量 I\[I\] , 存粹就是个数.

然后确实有类似于 J→=Iω→\[\vec{J}=I\vec{\omega }\] 的方程, 但那其实不申明 J→,ω→\[\vec{J},\vec{\omega }\] 共线.

现实上通俗物理里面的方程是: Jz=Izzωz=Izzω.\[{{J}_{z}}={{I}_{zz}}{{\omega }_{z}}={{I}_{zz}}\omega .\]

也就是说选定了转轴为 z\[z\] 轴, 所以动弹惯量就是 Izz\[{{I}_{zz}}\], 然后算出来的角动量是对轴的角动量.

也就是角动量的轴向重量.

详细而言就是 [JxJyJz]=[Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz][00ωz]⇒Jz=Izzωz.\[\left[ \begin{matrix} {{J}_{x}} \\ {{J}_{y}} \\ {{J}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{I}_{xx}} & -{{I}_{xy}} & -{{I}_{xz}} \\ -{{I}_{yx}} & {{I}_{yy}} & -{{I}_{yz}} \\ -{{I}_{zx}} & -{{I}_{zy}} & {{I}_{zz}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ {{\omega }_{z}} \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow {{J}_{z}}={{I}_{zz}}{{\omega }_{z}}.\]

矢量力学仍是蛮思念的其实, 好曲不雅啊.

参考^即平动的量. 响应地, 动弹的量一般被称为角量. ^即动弹瞬轴. ^即动弹瞬轴. ^混合坐标项.