责任编纂如是说许多诡计从不异视角推论玻尔方程组的组织工做，那些组织工做阐了然玻尔方程组不单是次元截面所满足用户的方程组，也能有统计力学起源地，即使能源自电浆中的折腾。
重力方程组源于统计力学：
考量次元中一点儿P，定域的上看在P周遭极小的地域次元是近似于弯曲的，有著近似于的黎曼自旋。按照拉沙泰格赖厄县电磁辐射，即使是在弯曲的次元下，对做快速运动的光子，也会有和它相联系关系的Rindler光晕，因而它也会看见电磁电磁辐射。 以P点做为参照系，考量其周遭的快速光子，在快速光子婉言Perf逐渐构成两个定域的Rindler光晕。定域的Rindler光晕由两个 χa\chi^{a} 所聚合。
跨过光晕的能流即脉动能抒发为
＝δQ=∫HTabχadΣb＝−κ∫HλTabkakbdλdA\delta Q=\int_{\mathcal{H}} T_{ab}\chi^{a} d\Sigma^{b}＝-\kappa \int_{\mathcal{H}} \lambda T_{ab} k^{a}k^{b} d\lambda dA
傍边 kak^{a} 是光晕的切矢量， λ\lambda 是描述光晕上位置的仿射参数，A是光晕的截面面积。
因为熵和面积成反比，所以 dS=ηδAdS =\eta \delta A
δA=∫HθdλdA\delta A=\int_{\mathcal{H}} \theta d\lambda dA , θ=1δAddλδA\theta=\frac{1}{\delta A} \frac{d}{d\lambda} \delta A 是膨胀能通过测地线汇的乔杜里方程组给出
dθdλ=−12θ2−σ2−Rabkakb\frac{d \theta}{d\lambda}=-\frac{1}{2}\theta^{2}-\sigma^{2}-R_{ab}k^{a}k^{b} .
在p点处假设定域静态的，右侧前两项都是高阶小量。因而能解得 θ=−λRabkakb\theta=-\lambda R_{ab}k^{a}k^{b} .
所以 δA=−∫HλRabkakbdλdA\delta A=-\int_{\mathcal{H}} \lambda R_{ab} k^{a}k^{b} d\lambda dA .
因而在定域Rindler光晕处，若是描述统计力学的克劳修斯关系成立 δQ=TdS\delta Q=TdS . 温度是和外表重力的如下关系 T=κ/2πT=\kappa /2\pi
因为对所有的类光切矢量 kak^{a} 都成立， 能间接读出如下得关系
Tabkakb=(Rabkakb)ℏη2πT_{ab}k^{a}k^{b}=(R_{ab} k^{a}k^{b})\frac{\hbar \eta}{2\pi} .
所以 TabT_{ab} 和 RabR_{ab} 相差两个度规因子
2πℏηTab=Rab+fgab\frac{2\pi}{\hbar \eta} T_{ab}=R_{ab}+f g_{ab} .
最初按照能量守恒 ∇aTab=0\nabla_{a} T^{ab}=0 和bianchi恒等式能固定住常数f，最初推得了玻尔方程组
Rab−12Rgab+Λgab=2πℏηTabR_{ab}-\frac{1}{2} R g_{ab}+\Lambda g_{ab}=\frac{2\pi}{\hbar \eta} T_{ab}
G=14ℏηG=\frac{1}{4\hbar \eta} .
S反比于面积是玻尔重力下的情况，因而推论出了玻尔方程组，若是对其它的高阶重力方程组，S的抒发式不异，推出的场方程组的形式也不异。
对含时的宇宙学度规，它的表参观晕处也会具有类似的统计力学关系，通过那个统计力学关系能推论弗里德曼方程组。
重力方程组源于折腾：
考量两个具有更大自旋的次元（MSS）中的球，给出如下原理（MVEH）：
当度规和量子场变革的时候，固定体积的折腾熵变革为0， δStot=δSgab+δSψ=0\delta S_{tot}=\delta S_{g_{ab}}+\delta S_{\psi}=0
δSgab\delta S_{g_{ab}} 是度规变革的时候形成的熵的变革，因为度规的变革会改动球面的面积。拔取Riemann法坐标
hij=δij−13r2Rikjlnknl+O(r3)h_{ij}=\delta_{ij}-\frac{1}{3} r^{2} R_{ikjl} n^{k} n^{l}+O({r^{3}})
RikjlR_{ikjl} 是截面张量的空间重量。能得到固定体积的面积变革
δAV=−Ωd−2ld2(d2−1)R=−Ωd−2ldd2−1G00\delta A_{V}=-\frac{\Omega_{d-2} l^{d}}{2(d^{2}-1)} \mathcal{R}=-\frac{\Omega_{d-2} l^{d}}{{d^{2}-1}} G_{00}
R=R−2R00=2G00\mathcal{R}=R-2R^{0}_{0}=2 G_{00} .
δSψ\delta S_{\psi} 源自物量场部门，考量物量场是两个共形场，密度矩阵是
ρ=Z−1exp(−K/T)\rho=Z^{-1} exp(-K/T) . 折腾第必然律如下
ℏ2πδS=δ⟨K⟩\frac{\hbar}{2\pi}\delta S=\delta \langle K \rangle .
K叫做Modular Hamiltonian在球形地域内有解析抒发式
K=∫ΣTabξbdΣaK=\int_{\Sigma} T^{ab} \xi_{b} d\Sigma_{a} .
ξb\xi_{b} 是boost的聚合元，同时也是共形Killing自旋，连结球面逐渐构成的causal diamond稳定。
ξ=12l[(l2−r2−t2)∂t−2rt∂r]\xi=\frac{1}{2l}[(l^{2}-r^{2}-t^{2})\partial_{t}-2rt \partial_{r}]
共形killing矢量， Lξηab=−(2t/l)ηab\mathcal{L}_{\xi} \eta_{ab}=-(2t/l) \eta_{ab} .
δ⟨K⟩=Ωd−2ldd2−1δ⟨T00⟩\delta \langle K\rangle=\frac{\Omega_{d-2} l^{d}}{d^{2}-1} \delta \langle T_{00} \rangle
之前的讨论是对闵式次元而言的，对更大对称次元也成立(dS, AdS).
因而按照 δ⟨K⟩/T+ηδAV=0\delta \langle K\rangle/T+\eta \delta A_{V}=0 对每一点儿，每一类时矢量都成立，便能得到如下方程组
Gab+λgab=2πℏηδ⟨Tab⟩G_{ab}+\lambda g_{ab}=\frac{2\pi}{\hbar \eta} \delta \langle T_{ab}\rangle ,即玻尔方程组。
考量更大对称次元，连系MVEH原理，能通过折腾平衡前提推出玻尔方程组。 MVEH原理若何理解呢？
比来Jacobson等人的文章1812.01596，因为次元具有共形killing矢量场，通过Wald formalism成立了球形地域中的统计力学第必然律。那个原理能理解为那个统计力学第必然律成立。
整个次元是两个弯曲次元，是两个纯态，球面的统计力学方程组源自于trace掉了球外面的自在度，使得球面的密度矩阵表示为热态的密度矩阵，因而有统计力学关系。而那一前提则源自于电浆是折腾的。
统计力学和折腾两种不异的视角都能看出次元的动力学即玻尔方程组，能否有其它的观点得到次元的动力学，值得摸索。
别的Myers，Hartman等人也通过全息折腾熵可以推出线性阶的玻尔方程组。
参考文献：
1505.04753
1812.01596
关于Wald formalism的最naive的如是说能看那个答复。
什么是 Iyer-ward formalism？59 附和 · 1 评论答复