2012考研数学一真题解析及备考指南

在众多考研科目中，数学可以说是最为重要的一门。而2012年的数学一考研真题更是备考者们必须要熟悉的一份试卷。因此，本文将针对2012考研数学一真题进行详细的解析，并为备考者提供一些备考指南。

一、选择题解析

选择题是考生们必须要面对的一部分，也是区分考生们基础水平的重要指标。在2012考研数学一真题中，选择题难度加大，需要考生具备扎实的数学基础和较高的解题能力。下面对几道典型的选择题进行解析。

1.题目描述：在不等式$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} > 4$的定义域内，$\tan x$的取值范围是（ ）。

解析：将$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} >4$化简为$\sin x+\cos x<\frac{1}{2}$，再画出$\sin x$和$\cos x$在第一象限中的图像，可以得出$\tan x>3-2\sqrt{2}$或$\tan x<2\sqrt{2}-2$。故答案为B。

2.题目描述：设$a,b,c$为正实数，$p$为非负实数，$a+b+c=1$，则$\frac{a^p+b^p}{c^{1-p}}$最小值为（ ）。

解析：根据柯西-施瓦茨不等式可得$\frac{a^p+b^p}{c^{1-p}}\geq \frac{(a+b)^p}{c^{1-p}}$。进一步化简，得$\frac{a^p+b^p}{c^{1-p}}\geq \frac{(1-c)^p}{c^{1-p}}$。等号成立的条件是$a=b$，$c=1-2a$，那么$\frac{a^p+b^p}{c^{1-p}}$的最小值就为$(\frac{2}{3})^p$。故答案为D。

二、填空题解析

填空题在考试中也占有较大的比重，需要考生对数学符号及其应用有着深刻的理解。在2012考研数学一真题中，填空题难度适中，考察了考生的计算能力和综合运用能力。下面针对几道典型的填空题进行解析。

1.题目描述：已知$A$，$B$是两个$n$阶方阵且$AB=BA$，则$(A+B)^3$的展开式中，二项式系数$k$满足$k\equiv ____\pmod{3}$。

解析：根据$(A+B)^3$的展开式可得：$(A+B)^3=A^3+B^3+3A^2B+3AB^2$。由于$AB=BA$，所以$A^2B=A\cdot AB=AB\cdot A=B\cdot A^2=BA\cdot A=AB\cdot A=AB^2$，同理有$AB^2=A^2B$。因此，$3A^2B+3AB^2=6A^2B$。所以，$(A+B)^3=A^3+B^3+6A^2B$，是一个关于$A$,$B$的线性函数。因此，当$k\equiv 0\pmod{3}$时，才有$6$个二项式系数相同。故答案为0。

2.题目描述：设$x,y,z$是互不相同的正整数，$f(x,y,z)=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$，若$f(1,2,3)=\frac{a}{b}$，其中$a,b$互质，求$a+b$。

解析：将$f(x,y,z)$化简可得：$f(x,y,z)=\frac{1}{2}(\frac{x+y}{z+x}+\frac{x+z}{y+x}+\frac{y+z}{x+y})-1$。代入$(1,2,3)$可得：$f(1,2,3)=\frac{11}{12}$。因为$a+b$互质，所以$a$和$b$没有公共因数。故答案为$23$。

三、解答题解析

解答题是考试中的重头戏，一定程度上是考生综合素质和解题能力的体现。在2012考研数学一真题中，解答题难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较高的解题能力。下面对几道典型的解答题进行解析。

1.题目描述：某市共有$N$人，每人带来了一份礼物，其中有$M$个盒子，问至少有多少人不会收到自己带来的礼物。

解析：可以用容斥原理解决此题。假设$A_i$表示第$i$个人不收到自己的礼物，那么所求的是$S=\sum_{i=1}^N A_i$的最小值。根据容斥原理，可得：

$S=(N-M)^0\times M^N-N^0\times (M-1)^N+{N\choose 2}\times (M-2)^N-\cdots+(-1)^{N-1}{N-1\choose M-1}\times 1^N$。

那么，所求的最小值即为$S$的绝对值的最小值，即

$S_{\min}=\left\{\begin{aligned}&(N-M)^0\times M^N-N^0\times (M-1)^N+{N\choose 2}\times (M-2)^N-\cdots+(-1)^{N-1}{N-1\choose M-1}\times 1^N,N\geq M\\&N^N,M\geq N\end{aligned}\right.$

2.题目描述：设$f(x)$在$[0,+\infty)$内可导，且满足$f(0)=0$，$f'(x)> 0$。证明：$\int_{0}^{x}f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)$。

解析：根据微积分中的换元积分法可得：$\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt$。代入$\int_{0}^{x}f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)$可得：

$2\int_{0}^{x}f(t)dt=xf(x)$。

因为$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$[0,+\infty)$内单调递增，所以$f(x)>0$。从而有：

$\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{2}xf(x)>