泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!?(x-x。)^2,+f'''(x。
)/3!?(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!?(x-x。)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x。)^(n+1),这里ξ在x和x。之间,该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数,不是f(n)与x。
的相乘。）证实：我们知道f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0f(x。+Δx)-f(x。)=f'(x。)Δx）,其中误差α是在limΔx→0即limx→x。的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估量出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x。
)+A2(x-x。)^2+……+An(x-x。)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x。)=f(x。),P'(x。)=f'(x。),P''(x。)=f''(x。),……,P(n)(x。
)=f(n)(x。),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然,P(x。)=A0,所以A0=f(x。)；P'(x。)=A1,A1=f'(x。)；P''(x。)=2!A2,A2=f''(x。)/2!……P(n)(x。)=n!An,An=f(n)(x。
)/n!。至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!?(x-x。)^2+……+f(n)(x。)/n!?(x-x。)^n。接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x。
)=f(x。)-P(x。)=0。所以可以得出Rn(x。)=Rn'(x。)=Rn''(x。)=……=Rn(n)(x。)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x。)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x。)/(x-x。)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x。
)^n(注：(x。-x。)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x。之间；陆续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x。)/(n+1)(ξ1-x。)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x。)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x。之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x。
)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x。和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。
综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x。)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn。