dx，求表面积为什么不用dx，而用ds，都是？为什么这里格林公式ds是周长，不是区域面积？
咱们先用朴素的累和形式讨论 -- 之后再考虑严格的积分，把区间分成小段, 其中 是分割点，记任何一个上的截面上任一点与平面成的角为 .每一个小段 上的截面积约等于注意这个 !
dx，求表面积为什么不用dx，而用ds，都是？
咱们先用朴素的累和形式讨论 -- 之后再考虑严格的积分。把区间分成小段, 其中 是分割点。记任何一个上的截面上任一点与平面成的角为 .每一个小段 上的截面积约等于注意这个 !把这个环面拆成一个个小平面，每个小平面都是斜面,所以总的来看不是一个圆柱体。因此半球的表面积约等于积分形式就是把分割加细直到粒度趋于零（累和和积分这两个式子有多像）：如果忽略了, 我们将得到一个错误的积分：顺便提，上面这个积分在（重新）推圆的面积的时候可以用到（题主已经在用了）。
为什么这里格林公式ds是周长，不是区域面积？
得看在哪里出现ds这个表达式。一般在三维空间中，曲面的面积微元才表示为dS（S是大写的），如果是有向曲面微元，则S用黑体或者带矢量符号。ds（s小写）一般不表示面积，毕竟从中学以来面积基本就是用大写S表示的。
另外，格林公式中的区域面积是在平面上的，而不是三维空间中的曲面面积，所以区域面积应该用dσ表示，而不是ds。
d*ds的二重积分是什么意思？
1的二重积分即“∫∫dxdy”，该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为1的二重积分的值等于积分区域的面积，即“∫∫dxdy=D”，其中，D为积分区域S的面积。
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