在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。若是函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式能够用那些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在那一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了那个多项式和现实的函数值之间的误差。
泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有曲到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，能够展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。
) f'(x。)(x-x。) f''(x。)/2!*(x-x。)^2, f'''(x。)/3!*(x-x。)^3 …… f(n)(x。)/n!*(x-x。)
麦克劳林展开式
：若函数f(x)在开区间（a，b）有曲到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，能够展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!?x^2, f'''(0)/3!?x^3 …… f(n)(0)/n!?x^n Rn 此中Rn=f(n 1)(θx)/(n 1)!?x^(n 1),那里0 证明：若是我们要用一个多项式P(x)=A0 A1x A2x^2 …… Anx^n来近似暗示函数f(x)且要获得其误差的详细表达式，就能够把泰勒公式改写为比力简单的形式即当x。=0时的特殊形式： f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!?x^2, f'''(0)/3!?x^3 …… f(n)(0)/n!?x^n f(n 1)(ξ)/(n 1)!?x^(n 1) 因为ξ在0到x之间，故可写做θx，0
麦克劳林展开式的应用
： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：按照导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规则。
别离算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最初可得：sinx=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7! x^9/9!-……（那里就写成无限级数的形式了。） 类似地，能够展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1 1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1 x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! 当x=1时，e≈1 1 1/2! 1/3! …… 1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2。
7182818。 3、欧拉公式：e^ix=cosx isinx（i为-1的开方，即一个虚数单元） 证明：那个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式切当地说是麦克劳林级数证明的。过程详细不写了，就把思绪讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。
因为i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一路，剩余的项写在一路，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴致的话可自行证明一下。^n Rn(x) 此中Rn(x)=f(n 1)(ξ)/(n 1)!*(x-x。
)^(n 1)，那里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）。